12.8.3. Свойства взаимных спектральных плотностей в случае стационарных полей

Рассмотрим дальнейшие следствия из условия стационарности, а именно, как оно влияет на взаимные спектральные плотности. Из коммутационных правил (10.4.1) и (10.4.1) следует, что

и что

Теперь мы воспользуемся этими соотношениями, чтобы преобразовать общую функцию взаимной спектральной плотности порядка которая определяется выражением (12.5.17). Подставляя из (12.8.16), мы получаем соотношение

Многократно применяя формулы (12.8.15) и (12.8.16) к последнему члену, можно шаг за шагом переместить оператор вправо от всех операторов рождения и уничтожения. При каждом таком шаге создается дополнительный член типа

Эта формула следует из анализа (12.8.17). Верхний знак применяется тогда, когда перемещается через оператор рождения, а нижний, когда перемещается через оператор уничтожения. Так как след инвариантен относительно циклической перестановки операторов, то член, в котором в конечном итоге оператор появится в самой правой части, можно скомбинировать с первым членом в правой части (12.8.17) и окончательно получить

Это полезное общее соотношение. Сразу заключаем, что когда поле стационарное, и коммутатор справа обращается в нуль, мы должны иметь

Из (12.8.19) следует ряд соотношений. Мы видим, что взаимная спектральная плотность стационарного поля может быть отличной от нуля, только если

что является условием, которое также вытекает из классического анализа Когда взаимная спектральная плотность имеет четный порядок при то (12.8.20) легко удовлетворить выбором повторяющихся аргументов, т.е. полагая хотя это и не является единственным способом. Однако в тех случаях, когда число положительных членов в левой части (12.8.20) не совпадает с числом отрицательных членов и удовлетворить данному уравнению гораздо более сложно. Если поле имеет ограниченный частотный диапазон и взаимные спектральные плотности обращаются в нуль всякий раз, когда каждая частота и не лежит внутри диапазона то (12.8.20) можно удовлетворить только если

Если поле квазимонохроматическое, т. е. это условие может быть выполнено только тогда, когда или для неравных если очень большие, что означает равенство нулю всех взаимных спектральных плотностей низших порядков Так как корреляционные функции могут быть представлены через многомерные фурье-образы спектральных плотностей, то соответствующие корреляционные функции нечетного порядка также должны обратиться в нуль. К аналогичным выводам можно прийти и из классического анализа стационарного поля (ср. разд. 8.3).

В частном случае, когда все частотные аргументы равны, уравнению (12.8.20) нельзя вообще удовлетворить при и в стационарном поле, при соответствующая взаимная спектральная плотность обращается в нуль. Как следствие этого результата, мы имеем при

в стационарном поле. В частности, если либо либо то мы приходим к выводу, что

для любого положительного, целого в стационарном поле. Так как различные операторы поля могут быть выражены в виде линейных комбинаций операторов уничтожения или рождения, либо обоих этих операторов вместе, то мы имеем

и ожидаемое значение любого эрмитового оператора поля также обращается в нуль, когда поле стационарное.

Еще один частный случай выражения (12.8.19) возникает, когда В этом случае (12.8.20) опять не может быть удовлетворено, и соответствующая взаимная спектральная плотность обращается в нуль. Как следствие, мы приходим к выводу, что

в стационарном поле, из чего можно заключить, что фурье-амплитуды поля, связанные с различными частотами, не коррелируют во всех порядках.

Рассмотрим несколько примеров. Фоковское состояние поля, будучи собственным состоянием энергии, очевидно, соответствует стационарному состоянию. Когерентное состояние имеет оператор плотности, матричные элементы которого в фоковском представлении имеют вид

Эти матричные элементы не удовлетворяют условию (12.8.12), кроме случая, когда — для всех и когерентное состояние является в общем случае нестационарным состоянием поля. Единственным исключением является вакуумное состояние которое одновременно является собственным состоянием оператора энергии и оператора уничтожения. Как мы уже видели когда поле находится в когерентном состоянии, любая корреляционная функция может быть представлена в виде произведения, причем каждый множитель явно зависит от одного из временных аргументов данной корреляционной функции, которая, таким образом, не будет является инвариантной относительно сдвига начала отсчета времени. С другой стороны, усредненная по фазе смесь когерентных состояний, задаваемая выражением (11.11.18), которая иногда используется для представления поля одномодового лазера, является функционалом только модулей следовательно, в соответствии с вышеприведенными результатами, она соответствует стационарному полю.