17.4.3. Коммутационные соотношения

По определению, оператор полностью выражается через операторы взятые в нулевой момент времени, так что он коммутирует с

хотя, как будет показано ниже, он не обязательно коммутирует с или Операторный характер важен фактически для того, чтобы сохранить коммутационные соотношения между

Прежде всего, рассмотрим коммутаторы операторов Из определения (17.4.17) сразу следует, что

для всех Однако, в общем случае не коммутируют. Удобно, для начала, рассмотреть медленно меняющиеся переменные осциллирующее поведение которых скомпенсировано и коммутатор которых задается выражением

Теперь обратим сумму в интеграл и положим точно так же, как при вычислении формулы (17.4.11). В результате получим, что

или, учитывая (17.4.12), что

Таким образом, коммутатор очень быстро уменьшается при увеличении С той же степенью точности, с какой можно аппроксимировать -функцией, как в выражении (17.4.13), можно записать

где к, как и прежде, определяется формулой (17.4.15). Еще раз отметим, что дельта-функция отражает плотный характер частотного распределения и большой спектральный диапазон осцилляторов резервуара.

Нетрудно показать, что соотношение (17.4.20) или (17.4.21) обеспечивает правильное коммутационное соотношение между Начнем с того, что проинтегрируем выражение (17.4.16) по времени, т.е.

и воспользуемся данным результатом для построения коммутационного соотношения

С помощью замены переменных и выражения (17.4.20) получим, как в разд. 17.2, что

Теперь учтем, что функция существенно отлична от нуля лишь на малом временном промежутке и может быть аппроксимирована -функцией, так что почти для всех имеем, после обратного фурье-преобразования выражения (17.4.12),

Следовательно,

для всех превышающих временной интервал, на котором существенно отлична от нуля. Таким образом, некоммутативность и важна для сохранения коммутационного соотношения, связывающего а уравнение Ланжевена (17.4.16) описывает квантовую систему корректно только в том случае, когда резервуар также является квантово-механическим.

В заключение рассмотрим некоторые смешанные коммутаторы, содержащие как так и Согласно соотношениям (17.4.22) и (17.4.17) оператор выражается через откуда следует, что

Данная формула является обобщением (17.4.18). Воспользуемся теперь выражением (17.4.22) для вычисления и найдем, что

и, с учетом (17.4.20),

Теперь учтем, что функция существенно отлична от нуля лишь на малом временном промежутке и может быть аппроксимирована -функцией. При условии, что интеграл по почти для всех хорошо аппроксимируется выражением

тогда как

поскольку в последнем случае пик функции находится за пределами области интегрирования. Если следует ожидать, что интеграл охватывает половину площади под кривой В этом случае получим следующий результат

Подобным же образом можно показать, что

Поскольку равенство нулю коммутатора означает в общем случае, что измерения двух динамических переменных не влияют друг на друга, мы заключаем, что система подвергается воздействию резервуара на ранних временах, но не на поздних. В этом отношении квантовое уравнение Ланжевена очень похоже на соответствующее классическое уравнение.