11.12. Положительно- и отрицательно-частотные операторы поля

В разд. 10.4 мы уже сталкивались с модовыми разложениями операторов электромагнитного поля [см. (10.4.38), (10.4.39) и (10.4.40)]. Все они имеют общий вид

где единичный вектор поляризации, ортогональный вектору , и некоторая простая функция такая как для векторного потенциала. Часто удобно объединить эти разложения, записывая

где любой из полевых векторов, и

Приписывая различные значения величине можно, таким образом, определить весь диапазон линейно связанных полевых векторов. Данное разложение подчеркивает тот факт, что каждое поле можно рассматривать как сумму двух операторов, сопряженных друг другу, каждый из которых есть комбинация только операторов уничтожения или только операторов рождения. Как мы увидим в гл. 14, неэрмитовые операторы и в некоторой степени, играют роль операторов (конфигурационного пространства) рождения и уничтожения в пространственно-временной точке Более того, есть положительно-частотная часть поля в том смысле, что она зависит от времени только через множители в разложении, тогда как есть отрицательно-частотная часть поля, временная зависимость которой определяется множителями Очевидно, и сопряженный ему оператор очень близко соответствуют аналитическим сигналам, которые использовались при классическом рассмотрении оптической когерентности (гл. 4 и 6), если не считать того, что они являются операторами гильбертова пространства. Мы скоро увидим, что данное соответствие не является просто формальным, и что интерпретация и через операторы уничтожения и рождения дает еще одно объяснение появлению аналитических сигналов при рассмотрении оптической когерентности.

Стоит напомнить, что реальное поле часто трудно поддается измерению как в оптическом диапазоне, так и за его пределами. Большинство наблюдений в оптике основаны на поглощении света либо с помощью фотодетектора, либо с помощью фотопластинки, либо с помощью глаза. Таким образом, не удивительно, что оператор поглощения а не оператор реального поля играет основную роль при описании экспериментов.

Мы видим, что вследствие (11.11.2) и (11.11.3), когерентное состояние также является правым или левым собственным состоянием операторов или соответственно. Ибо

где

и, аналогично,

Здесь есть просто положительно-частотные и отрицательно-частотные части классических с-числовых полей, имеющих множество фурье-амплитуд Очевидно, и оба являются аналитическими сигналами в том же смысле, что и в разд. 3.1. Они аналитичны в противоположных половинах комплексной -плоскости.