11.10. Более общие представления в фазовом пространстве

11.10.1. Введение

Обратимся теперь к более общему, единому рассмотрению представлений в фазовом пространстве и упорядочения операторов, из которого многие из предыдущих результатов следуют как частные случаи. Для начала вспомним так называемую оптическую теорему эквивалентности, выраженную формулой (11.9.4) для произвольной нормально упорядоченной функции операторов рождения и уничтожения.

Объединяя формулу (11.8.9) для весовой функции и (11.9.4), можно записать

где функция получена из оператора плотности посредством его нормального упорядочения с последующей заменой операторов а, а) на соответственно. Таким образом, можно вычислить квантовое среднее нормально упорядоченного оператора а, вычисляя с-числовой интеграл с некоторой весовой функцией фазового пространства.

Этот результат имеет интересное обобщение для другого операторного упорядочения О. Пусть означает порядок, который противоположен (смысл этого будет уточнен ниже). Можно показать, что для -упорядоченного оператора

Тогда оптическая теорема эквивалентности (11.10.1) представляет собой просто частный случай выражения (11.10.2), где отождествляется с нормальным порядком а противоположный порядок с антинормальным порядком А.

Тема обобщенных распределений в фазовом пространстве и ассоциированного упорядочения операторов была раскрыта в работе Вигнера (Wigner, 1932), которая упоминалась в разд. 11.8.1. Мойал (Moyal, 1949) развил эту концепцию еще дальше и показал, что распределение Вигнера соответствует вычислению средних значений операторов в симметричном или вейлевском порядке. Важные обобщения, применимые к другим упорядочениям операторов, были сделаны Лэксом (Lax, 1968), Агарвалом и Вольфом (Agarwal and Wolf, 1968, 1970а, b, с), а также Кэхиллом и Глаубером (Cahill and Glauber, 1969а, b). Нижеприведенный анализ основан, главным образом, на работе Агарвала и Вольфа (для обзора см. также Perina, 1985, гл. 16 и 1991, разд. 4.8).