10.3. Каноническое квантование поперечного поля

При описании электромагнитного поля в квантовой механике мы должны сопоставить динамическим переменным операторы гильбертова пространства, которые в общем случае не обязательно коммутируют друг с другом. Условимся обозначать операторы гильбертова пространства теми же символами, что и соответствующие классические переменные, но со значком; например, операторы, соответствующие будут обозначаться как Согласно постулатам квантовой механики каждая пара канонически сопряженных операторов имеет отличный от нуля коммутатор Поскольку

классические переменные, относящиеся к двум различным модам, являются независимыми, соответствующие операторы гильбертова пространства коммутируют. Можно, следовательно, записать следующие коммутационные соотношения

Состояние квантово-механической системы, т.е. электромагнитного поля в гильбертовом пространстве описывается вектором состояния Результат измерения некоторой наблюдаемой физической величины, скажем, О, представляет собой одно из собственных значений оператора гильбертова пространства О, соответствующего этой наблюдаемой. Если состояние не является собственным вектором оператора О, результат такого измерения неопределен, и можно говорить только о вероятностях различных результатов. Среднее значение наблюдаемой О определяется скалярным произведением вектора и эрмитово сопряженного вектора т.е. выражением Это выражение позволяет нам также вычислить вероятность некоторого определенного результата измерения наблюдаемой О, скажем, Для определения этой вероятности мы должны найти собственный вектор построить проекционный оператор и вычислить его среднее значение в состоянии Поскольку наблюдаемым физическим величинам всегда сопоставляются эрмитовы операторы, соответствующие собственные значения представляют собой действительные числа. Но если для операторов следовательно, для различных операторов поля и т.д., являющихся линейными функциями спектр собственных значений непрерывен, то (как мы увидим в дальнейшем) для других операторов, таких, как оператор энергии спектр собственных значений является дискретным. Все предыдущие разложения (10.2.20), (10.2.23), (10.2.24), и уравнения движения (10.2.13), (10.2.29), (10.2.30) справедливы и в качестве операторных выражений. Однако, необходимо учесть, что динамические переменные в них заменяются операторами гильбертова пространства, которые, вообще говоря, не обязательно коммутируют друг с другом. Таким образом, гамильтониан квантованного поля излучения имеет вид

Заметим, что а также векторы поля являются динамическими переменными, а пространственно-временные переменные играют роль параметров.

Во многих случаях вместо действительных динамических переменных или эрмитовых операторов удобнее ввести неэрмитовы операторы

второй из которых эрмитово сопряжен первому. Эти выражения можно сразу же переписать, выразив через операторы и

С помощью формул (10.3.1)-(10.3.3) получим соответствующие коммутационные соотношения для операторов и

За исключением множителя операторы очевидно, соответствуют комплексным амплитудам и имеют аналогичную временную зависимость

Произведения операторов и следовательно, не зависят от времени. Но в силу некоммутативности операторов и неочевидно, какова должна быть операторная форма с-числового выражения для энергии (10.2.26). Тем не менее, воспользовавшись гамильтонианом (10.3.4) и подставив из (10.3.7) и (10.3.8), получим выражение

в котором операторы представлены симметрично по отношению к их порядку. Или же, применяя коммутационное соотношение (10.3.9), можно представить в нормально упорядоченной форме

где операторы расположены слева от операторов

Вклад в энергию каждой -ой осцилляторной моды представляет собой так называемую энергию нулевых колебаний. Наличие этого вклада отражает тот факт, что согласно принципу неопределенности Гейзенберга квантово-механический гармонический осциллятор никогда не может прийти в состояние покоя, даже в основном энергетическом состоянии. В случае неограниченного числа мод учет энергии нулевых колебаний приводит к бесконечно большому вкладу в энергию. Это одна из трудностей квантовой электродинамики, которая так и не была удовлетворительным образом разрешена. Можно доказать, что бесконечно большие волновые числа не имеют физического смысла и что для всех физически обоснованных задач сумма в выражении (10.3.15), в действительности, должна быть конечной. Такой довод становится совершенно несостоятельным, когда мы замечаем, что для достаточно больших только один член Нии в сумме может превысить энергию всей Вселенной. Оперируя конечной суммой, мы иногда находим, что влияние вкладов энергий нулевых колебаний компенсируется, а решение остается конечным и регулярным, тогда число мод устремляется к бесконечности на последующей стадии вычислений.

С другой стороны, можно рассматривать энергию нулевых колебаний как прямое следствие того, что мы сопоставляем квантово-механические операторы классическим переменным руководствуясь исключительно принципом соответствия (см. ссылку на с. 376). Этот принцип требует, чтобы результаты квантовомеханической теории в классическом пределе, т.е. в случае сильных возбуждений, согласовались с результатами классической теории. В этом пределе можно пренебречь в сравнении с членом в выражении (10.3.15), так что принцип соответствия позволяет нам записать следующее выражение для энергии

В дальнейшем мы будем иногда прибегать к этому упрощенному выражению, свободному от вышеупомянутых проблем. В случаях, когда нас не интересует зависимость оператора от времени, мы будем опускать временной аргумент, полагая, что все операторы определены для одного и того же момента времени.