13.3.2. Статистика фотонов при одинаковых средних числах заполнения

Поскольку весовой функционал для пучка света от теплового источника (13.3.4) имеет такую же структуру, как и функционал для излучения черного тела, то совместное распределение вероятностей множества чисел заполнения поля должно также иметь вид (13.1.10), а именно,

если не считать того, что средние числа заполнения являются произвольными. Для любой моды, у которой соответствующий множитель нужно рассматривать как Далее будем полагать, что только подмножество состоящее из мод поля, действительно заселено, и сосредоточим наше внимание только на этом подмножестве мод. Если есть полное число фотонов

и есть распределение вероятностей для то очевидно, что

Хотя трудно вычислить в общем виде, расчет упрощается в частном случае, когда средние числа заполнения всех заполненных мод одинаковы. Это соответствует пучку света от теплового источника, имеющего прямоугольную спектральную плотность, который либо полностью поляризован, либо полностью неполяризован. В этом случае имеем

и из (13.3.24) и (13.3.27) следует, что совместное распределение вероятностей заполненных мод принимает вид

Видно, что оно зависит только от полного числа фотонов и вообще не зависит от того, как они фактически распределены по модам. Вследствие этого каждый ненулевой член в сумме (13.3.26) имеет одинаковое значение, и требуемое распределение есть просто определяемое формулой (13.3.28), умноженное на число способов распределения фотонов по модам.

Комбинаторный множитель хорошо известен в квантовой статистике. Его можно вывести, воображая, что фотонов являются неразличимыми шарами, которые необходимо распределить по корзинам. Различные распределения можно получить, располагая наобум корзины и шары на одной линии и считая, что шары, лежащие непосредственно справа от корзины, принадлежат этой корзине. Это требует, чтобы левый край линии был занят корзиной и приводит к различным возможным размещениям. Но поскольку фотонов неразличимы, и фактические положения корзин не имеют физического значения, то нужно разделить это число на чтобы получить Таким образом, окончательно получаем (Mandel, 1959)

Моменты от легче всего вычислить с помощью производящей функции факториальных моментов

из которой факториальные моменты получаются путем разложения по степеням Если воспользоваться алгебраическим тождеством

то можно выразить в виде биноминального ряда по так называемого отрицательного бинома, который легко суммируется. В результате получим

Видно, что среднее значение есть коэффициент при а второй факториальный момент есть коэффициент при так что

и дисперсия задается формулой

В частном случае, когда выражения (13.3.31) и (13.3.32), как и требуется, сводятся к результатам, полученным ранее для одномодового распределения Бозе — Эйнштейна. Однако когда становится очень большим при заданном выражение (13.3.31) сводится к следующему

т.е. становится производящей функцией факториальных моментов пуассоновского распределения. При этом В этом пределе фотоны становятся почти независимыми и подчиняются статистике классических частиц.

Некоторые из полученных результатов будут использованы при изучении статистики фотоотсчетов.

Задачи

(см. скан)