1.5.6. Центральная предельная теорема
Во многих практических ситуациях, в которых флуктуирующая случайная переменная у является интегрируемой, сами флуктуации содержат вклады от многих независимых возмущений. Центральная предельная теорема утверждает, что при весьма общих условиях у будет стремиться к гауссовской случайной переменной, если число наблюдений становится большим.
Пусть 
является набором из 
статистически независимых случайных переменных, имеющих стандартную форму, но произвольные плотности вероятности. Тогда
является новой случайной переменной в стандартной форме, поскольку ее среднее также равно нулю, и ее дисперсия
Поскольку каждый из 
имеет стандартную форму, соответствующая производящая функция кумулянтов равна
где О является обычным символом порядка малости. С помощью закона композиции (1.4.20), производящая функция кумулянтов для у выражается следующим образом:
При 
сумма стремится к нулю из-за множителя 7V3/2 в знаменателе, так что 
Следовательно, у становится гауссовской, независимо от формы распределений вероятности для х. Центральная предельная теорема является очень важной и сохраняет силу при более общих условиях, чем те условия, которые мы рассматривали здесь.
