5.3.2. Излучение плоских, вторичных, квазиоднородных источников

Среди множества полей, к которым применимы только что полученные общие формулы, на практике особенный интерес вызывают поля, которые создаются определенными типами источников. Они являются вторичными, плоскими источниками, которые обсуждались в разд. 5.2.2. Наиболее популярными среди них являются источники модели Шелла, обладающие свойством, согласно которому спектральная степень когерентности в плоскости источника зависит от только через разность т.е. в виде

Вспоминая определение (4.3.476) спектральной степени когерентности, мы имеем для функции взаимной спектральной плотности вторичного плоского источника модели Шелла следующее выражение:

где спектральная плотность света в точке на плоскости источника.

Часто спектральная степень когерентности света в плоскости источника изменяется намного быстрее при изменении по сравнению со спектральной плотностью для каждой частотной компоненты Более того, линейные размеры источника обычно велики по сравнению с длиной волны и со спектральной корреляционной длиной света [эффективная пространственная ширина в плоскости источника. Тогда говорят, что источник является квазиоднородным плоским вторичным источником. Так же как и для трехмерных, первичных, квазиоднородных источников, которые мы изучили в разд. 5.2.2, плоские, вторичные, квазиоднородные источники также являются некогерентными в «глобальном» смысле, поскольку их линейные размеры велики по сравнению с их эффективными спектральными корреляционными длинами. Снова полезно отметить отличие между «локально когерентными» и «локально некогерентными» квазиоднородными источниками. В первом случае спектральная корреляционная длина света в плоскости источника больше длины волны тогда как в последнем случае она порядка или меньше длин волн. Как мы увидим в разд. 5.6.3, локально когерентные, коррелированные по Гауссу, квазиоднородные источники, в отличие от локально некогерентных источников, могут генерировать лучи.

Поскольку спектральная плотность квазиоднородного источника является «медленной функцией» а его спектральная степень когерентности является «быстрой функцией» разности выражение для взаимной спектральной плотности можно аппроксимировать выражением

Четырехмерный пространственный фурье-образ (5.3.7) выражения (5.3.16) определяется формулой

где двумерные фурье-образы и соответственно, определяемые по формулам

При подстановке (5.3.17) в уравнения (5.3.6) и (5.3.8) мы получим следующие выражения для взаимной интенсивности излучения и интенсивности излучения поля, создаваемого квазиоднородным, вторичным, плоским источником:

Легко получить также при подстановке (5.3.17) в (5.3.13) выражение для спектральной степени когерентности дальнего поля. Тогда, если применить то же самое приближение, которое использовалось при получении (5.2.41) из (5.2.38), то найдем

Заметим, что уравнения (5.2.21) и (5.3.22) очень похожи на соответствующие формулы (5.2.37) и (5.2.41) для излучения трехмерных, первичных, квазиоднородных источников.

Формулы (5.3.21) и (5.3.22), по Картеру и Вольфу, доказывают два следующих соотношения взаимности, (Carter and Wolf, 1977; см. также Goodman, 1965, Прил. А и Goodman, 1979, разд. для излучения плоских, вторичных, квазиоднородных источников:

(а) Угловое распределение интенсивности излучения пропорционально произведению двумерного фурье-образа спектральной степени когерентности поля в плоскости источника и квадрата косинуса угла между нормалью к плоскости источника и направлением вектора [см. (5.3.21)].

(б) Спектральная степень когерентности дальнего поля равна, с точностью до геометрического фазового множителя, нормированному двумерному фурье-образу спектральной плотности поля в плоскости источника [см. (5.3.22)].

Соотношение взаимности (а) означает, что квазиоднородный источник может генерировать интенсивность излучения, обладающего вращательной симметрией относительно нормали к плоскости источника, независимо от формы источника и пространственного распределения спектральной плотности в плоскости источника. В работе Ли и Вольфа (Li and Wolf, 1982) обсуждаются некоторые примеры этого факта.

Соотношение взаимности (б) представляет собой обобщение теоремы Ван Циттерта — Цернике для квазиоднородных источников в дальней зоне [см. (4.4.40)]. Однако, теорема Ван Циттерта — Цернике в ее традиционной постановке применяется к равновременной степени когерентности тогда как формула (5.3.22) имеет отношение к спектральной степени когерентности Когда свет является квазимонохроматическим, это отличие становится несущественным.

Мы проиллюстрируем соотношения взаимности, рассматривая излучение от плоского, вторичного, квазиоднородного источника радиуса а для которого и пространственное распределение спектральной плотности и спектральная степень когерентности являются гауссовскими, т.е.

и

где положительные и действительные числа. Так как по предположению источник является квазиоднородным, то мы имеем

Чтобы упростить вычисления, также предположим, что

Двумерные фурье-образы (5.3.18) и (5.3.19) гауссовскнх распределений (5.3.23) и (5.3.24) равны

При вычислении было использовано предположение (5.3.26), которое позволяет выполнить замену усеченного гауссовского распределения (5.3.23) на полное гауссовское распределение при определении его фурье-образа.

Рис. 5.8. График нормированной интенсивности излучения (5.3.29) в полярных координатах а и поведение абсолютного значения спектральной степени когерентности (5.3.33) для дальнего поля, создаваемого гауссовским, квазиоднородным, плоским, вторичным источником Переменная определяется выражением (5.3.34) (Carter and Wolf, 1977)

При подстановке (5.3.27) и (5.3.28) в уравнение (5.3.21) и при использовании соотношения в мы получим следующее выражение для интенсивности излучения:

где

Рассмотрим два предельных случая. При ксгд источник становится пространственно некогерентным (корреляционная длина равна нулю) на частоте и из (5.3.29) в этом случае видно, что

следовательно, интенсивность излучения падает с ростом угла в как т.е. быстрее, по сравнению с ламбертовским источником [см. ниже (5.3.45)]. В предельном случае, когда [с учетом предположения (5.3.25) в этом пределе], источник становится локально когерентным и из формул (5.3.29) и (5.3.30) следует, что

т.е. в этом пределе источник излучает только в направлении нормали к плоскости источника.

Поведение нормированного распределения интенсивности излучения, вычисленной с помощью (5.3.29) для некоторых значений спектральной корреляционной ширины показано на графике в полярных координатах (рис. 5.8а).

Далее рассмотрим спектральную степень когерентности для дальнего поля. При подстановке (5.3.27) в (5.3.22) сразу находим

где

Поведение спектральной степени когерентности (5.3.33) показано на рис. 5.86 для разных значений эффективного линейного размера источника Нетрудно показать, что когда точки

достаточно близки к оси z в дальней зоне и расположены в одной и той же меридиальной плоскости (т.е. в плоскости, в которой находится ось переменная и 12 представляет собой угловое расстояние двух точек в направлении наблюдения. Рис. 5.86 показывает, что с увеличением эффективного линейного размера источника угловое расстояние точек, в которых дальнее поле имеет отличную от нуля корреляцию, становится все меньше и меньше.