5.7.2. Основные понятия радиометрии

Главное допущение в радиометрии можно выразить в виде следующего основного радиометрического закона. Скорость с которой излучается энергия на частоте в телесный угол элементом плоского стационарного источника определяется выражением

Рис. 5.25. Иллюстрация обозначений, относящихся к определению лучистости [см. (5.7.36)]

Здесь двумерный радиус-вектор точки в плоскости источника, на котором расположен элемент единичный вектор вдоль оси элемента телесного угла угол, который создает единичный вектор с нормалью к плоскости источника (рис. 5.25). Функция называется спектральной плотностью энергетической яркости или яркостью. Ввиду ее ясного физического смысла эта величина, очевидно, должна удовлетворять следующим двум требованиям:

Формула (5.7.36) означает, что скорость с которой источник излучает энергию на частоте в телесный угол определяется выражением

и что полная скорость излучения источником энергии на частоте выражается в виде

Первый интеграл в правой части уравнения (5.7.39) берется по телесному углу который стягивается полусферой с центром в области излучающего источника, в полупространстве, в которое излучает источник.

Сравнивая (5.7.39) и (5.7.35), мы видим, что основной радиометрический закон (5.7.36) не будет противоречить физической оптике, если интенсивность излучения выражается через яркость по формуле

Ранее мы выразили интенсивность излучения через взаимную спектральную плотность света на плоскости источника [см. (5.3.8) и (5.3.7)]:

Сравнивая (5.7.41) и (5.7.40), мы видим, что следующее соотношение должно иметь место для всех действительных единичных векторов

Оказывается, что многие функции будут удовлетворять требованию (5.7.42). Однако, как было показано Фрайбергом (Friberg, 1979), ни одна из них не может быть выражена в виде линейного преобразования взаимной спектральной плотности W распределения поля по источнику и при этом удовлетворять ограничениям (5.7.37) для всевозможных источников. Однако, если ослабить некоторые из требований на функцию яркости, можно получить обобщенный вид функции яркости, который является полезным в некоторых приложениях. В связи с этим следует напомнить, что традиционная радиометрия развивалась для исследования излучения от тепловых источников, которые являются пространственно некогерентными. В разд. 5.7.3 мы покажем, что для таких источников, а фактически для более широкого класса квазиоднородных источников, можно ввести обобщенную функцию яркости, которая имеет свойства, обычно характерные для яркости, и которая находится в соответствии с физической оптикой.

Откажемся от требования (5.7.376) и распространим интегрирование по переменной в (5.7.40) и (5.7.42) на всю плоскость источника, в качестве которой мы выберем плоскость Поскольку взаимная спектральная плотность имеет нулевое значение всякий раз когда или (или оба) представляют собой точки на плоскости которые расположены вне области источника мы можем формально распространить оба двойных интеграла в правой части (5.7.42) на всю плоскость Тогда мы получим следующее соотношение

в котором все интегралы берутся по всей плоскости источника. Теперь перейдем от переменных интегрирования в правой части уравнения (5.7.43) к где

Тогда уравнение (5.6.43) принимает вид

Очевидно, это соотношение удовлетворяется для (5.7.44)

Это выражение для обобщенной яркости было введено Вальтером (Walther, 1968) и часто используется при анализе радиометрических задач, в которых рассматриваются частично когерентные источники (см., например, Marchand and Wolf, 1974а). Ввиду наших, более ранних замечаний, не удивительно, что оно может принимать отрицательные значения (Marchand and Wolf, 1974а, b) в нарушение неявного постулата (5.7.37а). Однако, можно видеть, что оно всегда действительно.

Другое возможное (вообще говоря, не эквивалентное) определение обобщенной яркости дается формулой

Для того, чтобы вывести свойства функции мы выразим ее в несколько другом виде. Для этой цели представим виде (5.7.11), а именно,

Подставляя (5.7.48) в (5.7.47), мы находим, что

где

— двумерный пространственный фурье-образ

Из уравнения (5.7.49) следует, что представляет собой в общем случае комплексную величину. Однако ее интеграл по переменной взятый по всей плоскости всегда является действительным и неотрицательным. Этот факт непосредственно следует из уравнения (5.7.49), которое дает при интегрировании

Вследствие того, что интеграл имеет действительное значение, он не изменится, если заменить на

где означает действительную часть. Поэтому ясно, что при вычислении интенсивности излучения при помощи радиометрической формулы (5.7.40) для функции яркости могло быть использовано любое из выражений (5.7.46), (5.7.47) или (5.7.52). Определение обобщенной яркости, которое эквивалентно было впервые предложено Вальтером (Walther, 1973; см. также Walther, 1978а, Ь). Однако, точно так же, как и яркость (5.7.46), может принимать иногда отрицательные значения (Marchand and Wolf, 1974b; Walther, 1974).

Математическая структура формул (5.7.46) и (5.7.47) наводит на мысль о причинах возникновения трудностей при попытке определить функцию яркости в рамках физической оптики. Эти формулы имеют ту же математическую структуру, что и выражения для обобщенных функций распределения в фазовом пространстве, известных также как квазивероятности, которые иногда используются при вычислении среднего значения квантовомеханических операторов при помощи методов, которые аналогичны методам, используемым в классической статистической механике (ср. разд. 11.8). Вследствие того, что такие обобщенные функции распределения являются функциями с-числовых представителей некоммутирующих операторов, они не являются истинными вероятностями и, следовательно, они могут быть отрицательными или даже комплексными. В частности, формула (5.7.46) похожа на выражение для так называемой функции распределения Вигнера (Wigner, 1932)3, в то время, как формула (5.7.47) имеет сходство с функцией фазово-пространственного распределения, введенной Маргенау и Хиллом (Margenau and Hill, 1961).

Каким бы ни было принято выражение для обощенной функции яркости, оно должно всегда удовлетворять требованию (5.7.39), которое дает правильное значение для скорости излучения источником энергии в полупространство Формулу (5.7.39) можно выразить в двух альтернативных, но эквивалентных формах, а именно,

и (распространяя интегрирование по переменной на всю плоскость источника)

В первой формуле, которая есть не что иное, как (5.7.35), интенсивность излучения, которая выражается через обобщенную яркость (5.7.40). Интенсивность излучения представляет собой скорость, с которой источник излучает энергию на частоте в единицу телесного угла в направлении В формуле (5.7.54)

— другая радиометрическая величина, известная как энергетическая светимость. Согласно выражению (5.7.54) можно считать, что она представляет собой скорость, с которой источник излучает энергию на частоте с единицы площади источника, являющуюся функцией радиус-вектора Теперь выразим (обобщенную) энергетическую светимость через взаимную спектральную плотность.

Поскольку, как мы уже отмечали, обобщенное излучение не определяется однозначно через взаимную спектральную плотность, то из (5.7.55) следует, что то же самое справедливо для обобщенной энергетической светимости. Мы получим выражение для энергетической светимости, связанной с обобщенной энергетической яркостью (5.7.46). Подставляя (5.7.46) в правую часть (5.7.46), меняя порядок интегрирования и используя выражение для элемента телесного угла легко получим

где

и Интеграл в правой части (5.7.57) можно легко вычислить, если перейти к полярным координатам интегрирования и использовать интегральное представление (5.3.50) для функции Бесселя и для сферической функции Бесселя, а именно,

Тогда получаем для ядра интегрального преобразования (5.7.56) выражение (см. Marchand and Wolf, 1974а)

При подстановке (5.7.59) в (5.7.56) мы находим следующее выражение для обобщенной энергетической светимости:

Можно показать, что обобщенная энергетическая светимость (5.7.60) может принимать отрицательные значения, указывающие на то, как и в случае энергетической яркости, что в общем случае она не является измеримой величиной.