11.8.1. Плотности квазивероятности. Распределение Вигнера
В 1932 году Вигнер ввел функцию распределения 
называемую сейчас распределением Вигнера, для характеристики состояния 
квантовой системы в фазовом пространстве. В одномерном случае, когда 
есть оператор плотности системы, 
собственные состояния операторов координаты и импульса, соответственно, распределение Вигнера имеет вид
В частности, если 
является чистым состоянием, то 
волновая функция
Шредингера, так что
Определенная таким образом 
является действительной и нормированной на единицу. Можно показать, что среднее значение некоторой симметричной или вейлевски упорядоченной функции 
от 
определяется выражением
Правая часть этого выражения имеет структуру классического среднего по ансамблю, где 
являются случайными переменными с плотностью вероятности или плотностью распределения в фазовом пространстве 
Несмотря на формальное сходство между 
и совместной плотностью вероятностей, 
не обладает всеми характеристиками плотности вероятности и может принимать отрицательные значения. Ее называют плотностью квазивероятности. Конечно, 
не соответствует никакой непосредственно измеримой величине, поскольку совместная вероятность пары канонически сопряженных переменных не может быть измерена и фактически не имеет смысла в квантовой механике. Однако, интеграл
является истинной плотностью вероятности величины 
Подобным же образом можно показать, что
есть плотность вероятности величины 
где 
представляет собой волновую функцию в 
-пространстве. Таким образом, распределение Вигнера обладает некоторыми, но не всеми свойствами плотности вероятности. Это является отражением того факта, что квантовая механика допускает состояния, не имеющие классического аналога.
которая возникла в диагональном представлении оператора плотности 
является плотностью квазивероятности. Поскольку не существует измерений поля, непосредственно дающих весовую функцию 
последняя не обязательно имеет все характеристики плотности вероятности. Как мы увидим, для некоторых состояний поля весовая функция 
ведет себя намного хуже и является намного более сингулярной, чем распределение Вигнера. Однако, 
имеет одно очень ценное преимущество по сравнению со всеми остальными весовыми функциями: она позволяет с первого взгляда определить, имеет ли состояние поля классическое описание.
