3.2. Представление углового спектра волновых полей

В этом разделе мы опишем математический метод, необходимый для изучения свойств волновых полей в однородных средах. Этот метод основан на определенном интегральном представлении, называемом угловым спектром плоских волн. В своем простейшем виде это представление применяется к детерминированным полям, но его можно обобщить (см. разд. 5.6.3) для случайных полей. С другой стороны, его применение к волновым полям ограничивается областью, которая является либо полупространством, либо ограничена двумя взаимно параллельными плоскостями. Несмотря на его простоту, целесообразность этого метода состоит прежде всего в его интуитивной привлекательности, позволяющей получать качественное понимание различных физических явлений, не выполняя детальные вычисления. Начнем с вывода представления углового спектра в плоско-параллельном слое.

3.2.1. Угловой спектр волнового поля в плоско-параллельном слое

Рассмотрим монохроматическое скалярное волновое поле

в слое (см. рис. 3.9), занимающем область

в однородной среде с показателем преломления Предположим, что источники поля находятся за пределами области Тогда в области пространственная часть функции будет удовлетворять уравнению Гельмгольца

где

(с — скорость света в вакууме) представляют собой волновые числа поля в среде и в свободном пространстве, соответственно, отвечающие частоте и.

Рис. 3.9. Обозначения, относящиеся к представлению углового спектра волнового поля в плоскопараллельном слое

Предположим, что в любой плоскости в плоскопараллельном слое поле можно представить в виде интеграла Фурье, а именно

Подставляя (3.2.5) в (3.2.3) и меняя порядок операции и интегрирования, мы получим формулу

После дифференцирования под знаком интеграла находим, что

Поскольку уравнение (3.2.7) имеет место для всех значений х и у, член в квадратных скобках под знаком интеграла должен быть равен нулю. Следовательно, функция удовлетворяет дифференциальному уравнению

где

Для определенности обозначим через корень уравнения (3.2.9), определяемый выражением

Общее решение дифференциального уравнения (3.2.8) имеет вид

где произвольные функции. При подстановке (3.2.11) в интеграл Фурье (3.2.5) получим следующее выражение для волнового поля в плоско-параллельном слое:

Эта формула представляет волновое поле в плоско-параллельном слое в виде линейной суперпозиции вкладов , где Согласно формулам (3.2.9) и Этот результат означает, что каждый член в подынтегральных выражениях уравнения (3.2.12) удовлетворяет одному и тому же дифференциальному уравнению, а именно, уравнению Гельмгольца (3.2.3), которому удовлетворяет и поле Следовательно, экспоненциальные члены в интегралах (3.2.12) представляют собой моды этого уравнения, и можно сказать, что формула (3.2.12) суть представление по модам волнового поля в плоско-параллельном слое. Не следует путать это представление с представлением Фурье, которое имеет с ним внешнее сходство. В отличие от представления по модам (3.2.12), фурье-представление функции трех действительных переменных содержало бы не двойные, а тройные интегралы. Кроме того, так как было предположено, что известна только в области а не во всем пространстве, разложение Фурье, в отличие от разложения (3.2.12), не является единственным и не является представлением по модам волнового поля.

Теперь перейдем к физическому смыслу формулы (3.2.12), предполагая, что среда в плоско-параллельном слое является непоглощающей. Тогда показатель преломления и волновое число к будут действительными величинами. Таким образом, формула (3.2.12) представляет волновое поле через вклады четырех типов мод плоской волны:

Эти моды, очевидно, представляют собой однородные плоские волны, которые распространяются по направлению от граничной плоскости

Так как в этом случае поверхности постоянной амплитуды таких волн определяются как тогда как поверхности равных фаз определяются в виде их Очевидно, что эти волны неоднородны. Их амплитуды уменьшаются экспоненциально при распространении от плоскости

Очевидно, что эти волны представляют собой однородные плоские волны, которые распространяются от граничной плоскости

Поскольку теперь такие волны являются неоднородными и похожи на те, которые рассматривались выше с той лишь разницей, что их амплитуды спадают экспоненциально при распространении волны от

Очевидно, что моды всех четырех типов, которые мы только что обсудили, необходимы в общем случае для однозначного представления волнового поля в области Благодаря физическому смыслу этих мод, являющихся плоскими волнами, говорят, что представление (3.2.12) суть представление волнового поля в виде углового спектра плоских волн.