2.2.2. Эргодичность

На практике часто случается, что каждая реализация ансамбля несет ту же статистическую информацию о стационарном случайном процессе, что и другая реализация. Различные средние по времени все равны и совпадают со средним по ансамблю стационарного случайного процесса Тогда говорят, что стационарный случайный процесс является эргодическим процессом.

Нетрудно найти условие, при котором среднее по времени совпадает с средним по ансамблю стационарного случайного процесса Если усреднить по ансамблю, то получим

так что среднее по ансамблю совпадает со средним по ансамблю случайного процесса для всех Далее вычислим дисперсию

где мы воспользовались определением Осуществляя замену можно сделать пределы интегрирования симметричными, так что

Поскольку в правой части уравнения (2.2.12) переменная интегрирования зависит только от разности двух временных аргументов и двойной интеграл можно преобразовать в одномерный интеграл по переменной Это преобразование можно сделать с помощью простого геометрического рассуждения. Рассмотрим вклад в интеграл полоски длиной I вдоль линии константа, которая заштрихована на рис. 2.3. Вдоль этой полоски постоянна и, следовательно, вклад в интеграл от этой полоски равен Из элементарной геометрии следует, что Таким образом, вклад полоски равен Используя этот результат, получаем формулу

Очевидно, при увеличении дисперсия стремится к нулю, тогда как интеграл остается конечным. Но при становится средним по времени Следовательно, z совпадает со средним по ансамблю всякий раз, когда

Это условие является достаточным для совпадения двух средних, но не является необходимым; при этом в некоторой степени более слабое, но менее удобное условие можно получить из уравнения (2.2.13а). Однако условие (2.2.14) еще не гарантирует, что процесс является эргодическим в полном смысле, когда, например, среднее по времени другого процесса образованного из равно среднему по ансамблю Для этого нам нужно было бы вычислить автокорреляционную функцию от и применить то же самое исследование к случайному процессу В общем случае требуется бесконечное число разных критериев, чтобы обеспечить полную эргодичность случайного процесса Однако для специального случая случайного гауссовского процесса для которого все корреляции высших порядков выражаются на основе корреляций второго порядка (см. разд. 1.6), критерий, определяемый уравнением (2.2.14), является достаточным для полной эргодичности.

Рис. 2.3. К выводу формулы (2.2.13)

Условие (2.2.14) имеет простую физическую интерпретацию. В силу того, что мы видим, что интеграл является конечным, если стремится к нулю достаточно быстро при Другими словами, эргодичность имеет место, если корреляции случайного процесса исчезают достаточно быстро со временем. В этом случае достаточно длинная запись одной реализации случайного процесса может быть разделена на сегменты более короткой длины, которые являются некоррелированными, так что ансамбль может быть построен из одиночной реализации. Тогда среднее по ансамблю равно среднему по времени, поскольку одиночная реализация достаточной длины уже содержит всю информацию об ансамбле. Если процесс стационарный и эргодический, то все реализации случайного процесса выглядят почти одинаково и отличаются только в деталях.

В заключение отметим, что, хотя единственное условие (2.2.14) не гарантирует эргодичности процесса в общем случае, если интеграл в уравнении (2.2.14) расходится, то процесс не является эргодическим, даже если не исключается возможность того, что