Глава 15. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СВЕТА И ДВУХУРОВНЕГО АТОМА

Свет излучается и поглощается атомами, так что взаимодействие квантованного электромагнитного поля и атома представляет собой одну из наиболее фундаментальных проблем квантовой оптики. Однако реальные атомы являются сложными системами, и даже простейший из них — атом водорода, имеет непростую структуру энергетических уровней. Поэтому, как правило, часто необходимо или желательно аппроксимировать поведение реального атома поведением намного более простой квантовой системы. Часто при взаимодействии с электромагнитным полем только два атомных энергетических уровня играют важную роль, так что стало обычным во многих теоретических рассмотрениях представлять атом квантовой системой, имеющей только два энергетических собственных состояния. Такая система является наиболее элементарной квантовой системой, использование которой, как правило, существенно упрощает рассмотрение.

15.1. Динамические переменные для двухуровневого атома

Рассмотрим атомную квантовую систему с двумя энергетическими уровнями, показанными на рис. 15.1. Уровни разделены энергетическим интервалом и центрированы относительно значения Квантовые состояния являются, таким образом, собственными состояниями невозмущенного атомного гамильтониана На с собственными значениями энергии т.е.

и образуют полное ортонормированное множество для представления атомных состояний, т.е.

Рис. 15.1. Энергетическая диаграмма двухуровневого атома

Теперь учтем, что квантовая система, имеющая только два возможных энергетических уровня, математически эквивалентна частице со спином находящейся в магнитном поле, которая также имеет только два энергетических уровня. Поэтому формализм, развитый для описания динамики таких систем (Rabi, 1937; Bloch, 1946), непосредственно применим и для двухуровневого атома. При рассмотрении квантованного электромагнитного поля оказалось удобным ввести неэрмитовые операторы которые играют роль операторов, понижающих и повышающих энергию поля на величину Таким же образом мы введем теперь два атомных оператора которые понижают и повышают энергию атома на величину Поскольку энергия атома имеет как нижнюю, так и верхнюю границу, результатом

действия оператора на нижнее состояние и оператора на верхнее состояние должен быть нуль. Таким образом, имеем

Повторно действуя этими операторами, сразу находим, что

так что играют роль «операторов числа частиц», имеющих собственные значения 0, 1 для нижнего и верхнего состояний возбуждения, соответственно. Кроме того, повторное действие операторов на любое состояние дает нуль, так что

Эти свойства можно кратко охарактеризовать следующими антикоммутационными правилами

где обозначает антикоммутатор операторов Эти соотношения характерны для алгебры фермионов. Их следует сравнить с формулами (10.3.9) и (10.3.11) для одномодового электромагнитного поля, которое является полем бозонов. Видно, что соотношения (15.1.7) отличаются от только заменой коммутаторов на антикоммутаторы.

Хотя все атомные операторы, относящиеся к внутреннему состоянию атома, выражаются через и часто, для более тесной связи с физическими наблюдаемыми, удобно вводить эрмитовые динамические переменные. Мы будем использовать набор из трех бесследовых спиновых операторов Паули, определяемых соотношениями

который иногда дополняется четвертым элементом

Эти четыре оператора образуют полное множество линейно независимых, эрмитовых наблюдаемых, действующих в двумерном гильбертовом пространстве состояний атома, так что для произвольного атомного оператора О можно всегда записать

где — коэффициенты, задаваемые оператором О. Исходя из определений, можно легко показать, что эти операторы подчиняются следующим коммутационным и антикоммутационным соотношениям

и что

Кроме того, иногда оказываются полезными следующие смешанные соотношения

Нетрудно представить различные операторы через полное множество состояний умножая каждый оператор на единицу в виде (15.1.3) справа и слева и затем используя (15.1.4) и (15.1.5). В результате получим соотношения

Следовательно,

так что состояния являются собственными состояниями оператора который можно рассматривать как меру атомной инверсии.