1.4.3. Кумулянты

Другой производящей функцией, которая иногда оказывается полезной, является логарифм производящей функции моментов

известный как производящая функция кумулянтов. Она может задаваться степенным рядом по с коэффициентами, известными как кумулянты

В этом разложении в ряд нет постоянного члена, потому что Можно показать, что ряд является либо бесконечным, либо ограничивается вторым членом. Этот результат является прямым следствием теоремы Марцинкевича (см. Lukacs, 1970, с. 213).

Кумулянты обладают множеством интересных инвариантных свойств и они особенно удобны тогда, когда мы имеем дело с комбинациями статистически независимых случайных переменных. Пусть являются статистически независимыми, и

где коэффициенты являются постоянными. Во-первых, проверим соотношение между производящими функциями моментов для у и соответственно. По определению имеем:

где последний шаг является следствием предположенной статистической независимости Как следует из выражения (1.4.16), соответствующее соотношение между производящими функциями кумулянтов имеет вид

а для -того кумулянта имеем

В частности, если все константы равны единице, то -тый кумулянт для у является суммой -тых кумулянт для

Кумулянты ведут себя особенно просто при преобразовании случайной переменной х. Рассмотрим линейное преобразование от к у.

которое представляет собой трансляцию на а и изменяет шкалу Из выражения (1.3.11) следует, что плотности вероятности для для у связываются с помощью формулы

Следовательно, мы имеем для соответствующей производящей функции моментов следующее выражение:

Видно, что влияние трансляции на моменты является более сложным, чем влияние изменения шкалы. Если то моменты связаны очень простым соотношением

но если то не существует простого соотношения между Однако, из выражения (1.4.24) при логарифмировании мы имеем:

так что кумулянты связаны соотношениями

В частности, если нет изменения шкалы, так что все кумулянты, кроме первого, остаются полностью неизменными. Поэтому кумулянты (кроме первого) являются инвариантами при трансляции.

В частном случае, когда преобразование (1.4.22) представляет собой трансляцию на величину среднего, так что и моменты для у являются центральными моментами для х. Тогда из выражения (1.4.26) получим

Мы можем воспользоваться этим соотношением для установления связи между кумулянтами и центральными моментами. Начнем с соотношения

и продифференцируем обе его стороны по Это приведет к выражению

Подставляя разложения по степенным рядам (1.4.2) и (1.4.17) для и используя (1.4.28) и помня, что моменты для являются центральными моментами получим

Приравнивая коэффициенты при равных степенях получим следующее соотношение между кумулянтами для х и центральными моментами

Видно, что первый кумулянт является средним, а все высшие кумулянты не зависят от выбора исходной точки.