17.4.5. Уравнение Ланжевена для возбужденной системы осцилляторов

Ранее было показано, что гейзенберговские уравнения движения для переменной системы могут принять форму ланжевеновского уравнения (17.4.16), в котором квантово-механические силы Ланжевена определяются переменными резервуара. Однако чтобы не создалось впечатление, что данный результат

справедлив только для переменных мы сейчас покажем, что уравнение движения ланже-веновского типа можно также легко получить для других операторов, таких как эрмитовый оператор Из определения и формулы (17.4.16) имеем

Введем новый «квантовый шум» с нулевым средним значением следующим образом:

Используя (17.4.22) для вычисления последнего члена и действуя так же, как при выводе (17.4.33), найдем

Уравнение (17.4.36) тогда принимает вид

что является уравнением ланжевеновского типа для Интегрируя по времени и вычисляя средние значения, сразу получаем решение

Видно, что при когда система приходит в состояние равновесия с осцилляторами резервуара. С помощью (17.4.22), может быть выражена через ланжевеновские операторы в виде

Из данного выражения ясно видно, что двухвременные корреляторы между -операторами включают в себя четырехвременные корреляторы от -операторов. Корреляторы более высокого порядка легко вычисляются, если предположить, что осцилляторы резервуара находятся, например, в тепловом равновесии, так что нормально упорядоченные моменты шума удовлетворяют гауссовской теореме моментов. Функция является дельта-коррелированной в той же степени, в какой и функция