2.2.3. Примеры случайных процессов

Рассмотрим два простых примера случайных процессов, для того чтобы проиллюстрировать понятия стационарности и эргодичности, которые мы только что обсудили.

(а) Рассмотрим ансамбль комплексных функций

в котором фиксированные частоты, а коэффициенты случайные переменные. Так как каждое множество возможных значений случайных переменных определяет случайную реализацию, очевидно, что представляет собой случайный процесс. На рис. 2.4 показаны примеры возможных реализаций ансамбля. Посмотрим, является ли стационарным в широком смысле. Из уравнения (2.2.15) мы находим для математического ожидания

и для автокорреляционной функции

Для того, чтобы были независимы от мы требуем

где символ Кронекера, т.е. принимает значение 1 или 0, если или соответственно. Другими словами, если все случайные переменные имеют нулевое среднее и если все они являются некоррелированными, то случайный процесс является стационарным в широком смысле.

Предполагая, что этот случай имеет место, посмотрим, является ли процесс эргодическим. Согласно критерию (2.2.14) нам нужно вычислить интеграл

который, очевидно, расходится, потому что корреляции не исчезают. В этом случае средние по времени функций случайного процесса, вычисленные на основе различных реализаций ансамбля, не будут равны среднему по ансамблю, и будут отличаться друг от друга. Следовательно, вместо единственного среднего по времени мы имеем бесконечное их множество. Тем не менее, получается, что Однако можно легко показать, что для случайного процесса среднее по времени равно

и, очевидно, зависит от конкретной реализации к ансамбля. Почему это так, можно понять, взглянув на рис. 2.4: различные реализации ансамбля статистически не эквивалентны и каждая из них дает свой ответ; следовательно, процесс не является эргодическим.

(б) В качестве второго примера рассмотрим действительный случайный процесс изображенный на рис. 2.5, который называют случайным телеграфным сигналом (Rice, 1944). В этом процессе может принимать поочередно два фиксированных значения а и —а, мгновенно изменяя значение в случайные моменты времени со средней скоростью

Из структуры случайного процесса очевидно, что не существует предпочтительного начала времени, так что стационарный не только в широком, но и в узком смысле. Более того, если значения а и —а равновероятны, то

Обратимся теперь к вычислению автокорреляционной функции Произведение может принимать только значения Если процесс переключался четное число

Рис. 2.4. Возможные реализации действительной части случайного процесса Этот процесс не эргодический

Рис. 2.5. Реализация случайного телеграфного сигнала

раз в интервале от до то в противном случае, когда он переключался нечетное число раз, это произведение дает Если вероятность включений в интервале то

Так как переключения осуществляются случайным образом со средней скоростью является пуассоновским распределением с параметром т.е.

Подстановка этого выражения в уравнение (2.2.20) дает

и, поскольку

для всех значений

Следовательно, автокорреляция убывает экспоненциально к нулю при увеличении удовлетворяет критерию эргодичности (2.2.14). Из построения случайного процесса очевидно также, что любая длинная реализация будет статистически подобна любой другой длинной реализации, так что процесс является эргодическим. Наконец, заметим, что несмотря на повторяющиеся разрывы процесса его автокорреляционная функция является непрерывной функцией от Как мы покажем в следующем разделе, эта непрерывность представляет собой общее свойство всех автокорреляционных функций.