4.2.2. Пространственная когерентность и площадь когерентности

Теперь рассмотрим вкратце интерференционный эксперимент типа опыта Юнга, используя квазимонохроматический свет от протяженного источника а (рис. 4.2). Предположим, что а представляет собой тепловой источник, такой, как раскаленное вещество или газовый разряд. Для простоты рассмотрим симметричную схему с источником в форме квадрата со стороной Если отверстия и расположены достаточно близко к оси симметрии, вблизи центральной точки в плоскости наблюдения 38 будут наблюдаться интерференционные полосы. Возникновение полос является, как говорят, проявлением пространственной когерентности между двумя пучками, приходящими в точку от двух отверстий поскольку контраст между полосами зависит от расстояния между этими отверстиями (расстояние Экспериментально установлено, что при достаточно большом расстоянии между источником и плоскостью в которой расположены отверстия, интерференционные полосы вблизи будут наблюдаться в том случае, если

где угол, под которым виден отрезок из источника, и средняя длина волны. Если через обозначить расстояние между источником и плоскостью, в которой расположены отверстия, то оказывается, что для наблюдения полос вблизи отверстия должны быть расположены на плоскости в пределах области с центром в точке и площадью

где площадь источника. Эта область называется площадью когерентности света в плоскости вблизи точки а квадратный корень от площади когерентности иногда называют поперечной длиной когерентности. Следует отметить, что согласно (4.2.6) площадь когерентности будет тем больше, чем больше Однако, существует инвариантная величина, связанная с площадью когерентности и не зависящая от расстояния а именно, телесный угол Согласно (4.2.6) величина этого телесного угла определяется выражением

Рис. 4.2. Пространственная когерентность, иллюстрируемая интерференционным опытом Юнга для света от теплового источника а

Иногда полезно выразить площадь когерентности через другой телесный угол под которым источник виден из точки Поскольку из (4.2.6) сразу же получаем следующее выражение для площади когерентности

Элементарный вывод условия (4.2.5) приближенно может быть получен, исходя из следующих соображений. Свет, идущий от каждой точки источника, создает в плоскости наблюдения свою интерференционную картину. Поскольку флуктуации света от различных точек теплового источника можно считать взаимонезависимыми и, следовательно, предполагать отсутствие фиксированных фазовых соотношений между ними, то распределение интенсивности в каждой точке плоскости представляет собой сумму интенсивностей отдельных интерферограмм от различных точек источника. Максимумы этих интерферограмм будут смещены по отношению друг к другу. Если положение источника и плоскостей и остается неизменным, а расстояние между двумя точечными отверстиями постепенно увеличивается, т.е. увеличивается угол на рис. 4.2, то отдельные интерферограммы становятся все более и более несинхронизированными, что в конечном итоге приведет к фактически равномерному распределению интенсивности вблизи центральной точки в плоскости наблюдения. Простейшие вычисления показывают, что это происходит при что согласуется с выражением (4.2.5).

Как и в случае временной когерентности, более глубокое понимание явления пространственной когерентности может быть получено, если проанализировать эксперимент с точки зрения корреляций, что и будет проделано в разд. 4.3. Однако, возможно, и мы сейчас покажем это, качественно объяснить возникновение корреляций в поле протяженного теплового источника, исходя из весьма простых соображений.

Рис. 4.3. Иллюстрация возниковения пространственной когерентности в двух точках поля, излучаемого двумя некоррелированными источниками

Суть явления легко понять, если вместо протяженного источника а рассмотреть два точечных источника (рис. 4.3). Предположим, что источники излучают квазимонохроматический свет с одинаковой средней частотой и одинаковым эффективным частотным диапазоном и являются статистически независимыми, так что между световыми полями от этих источников не существует никаких корреляций. Рассмотрим теперь световые возмущения в двух точках в пространстве вокруг источника. Если для простоты пренебречь поляризационными свойствами поля, то световые возмущения, достигающие от точечных источников можно представить в виде комплексных аналитических скалярных сигналов соответственно. Аналогичным образом световые возмущения, достигающие точки от двух точечных источников, могут быть представлены в виде комплексных аналитических сигналов

Если разность между расстояниями мала по сравнению с длиной когерентности света, то, очевидно, с точностью до определенного фазового множителя можно записать

По аналогии, если разность между мала по сравнению с длиной когерентности света, то, с точностью до определенного фазового множителя имеем

Полное поле в точке представляет собой суперпозицию двух полей от двух точечных источников (см. рис. 4.3) и, следовательно, определяется выражением

Соответственно, полное поле в точке можно записать в виде

Поскольку излучаются статистически независимыми точечными источниками эти два возмущения некоррелированы, так же, как и Однако, суммы

очевидно, будут коррелированы в силу соотношений (4.2.9). Этот вывод графически проиллюстрирован на рис. 4.3, где (почти идентичные) волновые цуги приходящие в точки и от источника изображены в виде сплошных линий, а (почти идентичные) волновые цуги и приходящие в точки от источника в виде пунктирных линий. Очевидно, что, хотя изображенные сплошными и пунктирными линиями волновые цуги могут быть совершенно разными, сумма двух волновых цугов, приходящих в точку и сумма двух волновых цугов, приходящих в точку одинаковы. Следовательно, поля в точках заданные выражениями (4.2.10), в действительности будут сильно коррелированы. Таким образом, мы видим, что несмотря на статистическую независимость источников они порождают корреляции поля, которые формируются в процессе распространения и суперпозиции.

Модель, которую мы только что обсудили, применима только к частному геометрическому случаю Понятно, что если геометрические условия становятся менее строгими, ситуация несколько усложняется. Вместо высокой степени корреляции между полными полями в точках очевидно, будет иметь место несколько меньшая степень корреляции, зависящая от конкретного расположения этих точек. В разд. 4.4.4 мы вновь вернемся к этому вопросу и рассмотрим его с более общей точки зрения.

Проиллюстрируем наш элементарный анализ пространственной когерентности на нескольких примерах. Предположим, что линейный размер теплового источника а (рис. 4.2) и что источник испускает квазимонохроматический свет со средней длиной волны Пусть плоскость в которой расположены отверстия, находится на расстоянии от источника. Тогда согласно выражению (4.2.6) площадь когерентности в плоскости равна

т.е. ее линейные размеры будут порядка

В качестве второго примера оценим площадь когерентности пучка солнечного света, освещающего поверхность земли. Чтобы удовлетворить нашему предположению о квазимонохроматичности света, мы должны предварительно пропустить солнечный свет через фильтр с узкой полосой пропускания, скажем вблизи длины волны Угловой радиус Солнца составляет примерно радиан. Следовательно, телесный угол под которым солнечный диск виден с поверхности земли, равен стер стер, и площадь когерентности согласно выражению (4.2.8) равна

Таким образом, линейный размер площади когерентности на поверхности земли для фильтрованного солнечного света составляет величину порядка

Поучительно сравнить площадь когерентности солнечного света на поверхности земли с площадью когерентности света от более удаленных звезд. Первоначально отметим, что согласно выражению (4.2.8) площадь когерентности обратно пропорциональна величине телесного угла, под которым источник виден из центральной точки плоскости, в которой производится оценка. При наблюдении с поверхности земли угловой диаметр звезды обычно на много порядков меньше углового диаметра солнца. Следовательно, площадь когерентности света звезды на поверхности земли должна намного превышать площадь когерентности солнечного света. Для примера рассмотрим Бетельгейзе (а Ориона), которая фактически была первой звездой, чей угловой диаметр был установлен с помощью интерференционной техники (см. разд. 7.2) и составил величину секунд или радиан. Телесный угол, под которым эта звезда видна с поверхности земли, равен, соответственно, стер. Таким образом, площадь когерентности света Бетельгейзе, пропущенного через узкополосный фильтр на длине волны , на поверхности земли равна

Этот результат подразумевает наличие ощутимых корреляций между световыми колебаниями, достигающими поверхности земли от Бетельгейзе, в двух точках, максимальное расстояние между которыми составляет величину порядка метров метров футов. Существует множество звезд, чей угловой диаметр значительно меньше углового диаметра Бетельгейзе, так что высокая степень корреляции в свете от этих звезд имеет место на гораздо больших площадях.

Проведенный анализ также позволяет объяснить, почему в удобные для наблюдения ночи изображения звезд в хорошо коррелированных телескопах сопровождаются появлением дифракционной решетки, хорошо известной из теории образования изображений полностью когерентным светом (см., например, Born and Wolf, 1980, разд. 8.5). Как мы только что увидели, свет звезд, попадающий в апертуру телескопа, высоко коррелирован в пределах площадей, которые в общем случае значительно превышают площадь этой апертуры. Следовательно, вторичные элементарные волны, распространяющиеся к плоскости изображения телескопа, складываются, по сути, таким же образом, что и элементарные волны в полностью когерентном пучке.

Мы ввели понятие пространственной когерентности для света от теплового источника, который непосредственно падает на удаленную плоскость. Однако, очевидно, что это понятие имеет более общее значение, не зависящее от природы источника и окружающей среды. Существование пространственной когерентности поля можно продемонстрировать в опытах с двумя узкими диафрагмами: интерференционные полосы свидетельствуют о корреляциях света, проходящего через диафрагмы. Разумеется, площадь когерентности в общем случае не определяется простыми формулами (4.2.6) и (4.2.8). Позже (из разд. 4.4) мы узнаем, каким образом может быть определена степень корреляции для света от источника любого типа.