11.8. Диагональное представление оператора плотности по когерентным состояниям (Р-представление Глаубера — Сударшана)

В предыдущем разд. 11.7 было показано, что оператор с конечным следом, такой как оператор плотности описывающий состояние системы, можно представить целиком в виде разложения по проекционным операторам на когерентные состояния, не прибегая к слишком длинному выражению (11.6.10). Таким образом, можно записать

где некоторая действительная функция Поскольку данное представление все еще задается двойным интегралом, но оно содержит только проекционные операторы и существенно проще представления (11.6.10) через четырехкратный интеграл. Формальный вывод (11.8.1) будет сделан ниже, в разд. 11.8.4 и 11.10.

Данное представление впервые было введено независимо Сударшаном (Sudarshan, 1963) и Глаубером (Glauber, 1963с, 1970) и позже было сформулировано в математически строгом виде Клаудером с коллегами (Klauder, МсКеппа and Currie, 1965; Klauder, 1966; см. также Rocca, 1966; Miller and Mishkin, 1967; Klauder and Sudarshan, 1968). Элемент поверхности иногда называют элементом фазового пространства. При этом интеграл в (11.8.1) становится интегралом по всему фазовому пространству, где играет роль плотности вероятности в фазовом пространстве или весовой функции. Выражение (11.8.1) также называют -представлением состояния и весовая функция в этом случае обозначается через Данное представление предполагает, что состояние электромагнитного поля можно рассматривать как смесь когерентных состояний с относительным весом или Поскольку эрмитов оператор, то действительная величина. Требование, что имеет след, равный единице, означает, что нормирована на единицу, так как

Оба этих свойства согласуются с интуитивным представлением о том, что играет роль плотности вероятности в фазовом пространстве.

Определим классическое состояние света как состояние, в котором является плотностью вероятности. Однако, интерпретация в общем случае более сложная. Прежде всего, различные когерентные состояния не ортогональны, так что даже если вела бы себя, как истинная плотность вероятности, она не могла бы описывать вероятности взаимоисключающих состояний. В действительности, существуют состояния поля, называемые неклассическими состояниями, для которых менее регулярна, чем плотность вероятности, которая должна быть неотрицательной и не может быть более сингулярной, чем дельта-функция. Далее мы увидим, что нетрудно найти примеры, когда принимает отрицательные значения и становится более сингулярной, чем дельта-функция. В качестве примера весовой функции, которая не всегда является плотностью вероятности, рассмотрим распределение Вигнера (Wigner, 1932).