2.10.2. Совместные вероятности и автокорреляция

Пусть известны, тогда можно построить любую совместную плотность вероятности используя марковское свойство (2.6.7). Таким образом, для находим, что

Это позволяет нам вычислить автокорреляционную функцию от обычным способом:

Используя (2.10.10) и замену получим

потому что второй интеграл, содержащий произведение стремится к нулю. Необычность этого решения состоит в том, что оно не зависит от более позднего момента времени поскольку изменение х не зависит от начального значения х. Если бы была меньше, чем то получили бы Два решения можно объеденить при помощи единичной ступенчатой функции

в виде

2.10.3. Уравнения движения для процесса Винера

Если известна плотность вероятности то можно вычислить скорость перехода используя выражение (2.7.4), согласно которому

Теперь воспользуемся гауссовскпм характером чтобы выразить плотность вероятности перехода через интеграл Фурье от характеристической функции [см. (1.5.24)] в виде

Дельта-функцию можно также представить в виде интеграла Фурье

Если подставить (2.10.14) и (2.10.15) в (2.10.13), разложить в степенной ряд по и перейти к пределу то легко получим

Это сильно сингулярная функция. Тем не менее, удовлетворяет двум общим условиям (2.7.5) и (2.7.6) для скоростей перехода, оно рассматривается как распределение и используется под знаком интеграла, что приводит к приемлемым результатам.

Таким образом, на основе общего основного уравнения (2.7.8) при помощи (2.10.16) получилось следующее уравнение движения для

Это соотношение рассматривается как уравнение диффузии, которое могло быть использовано для случайного процесса, изображенного на рис. 2.8.

Иногда процесс Винера называют стохастическим уравнением Ланжевена с нулевым смещением, а именно

в котором есть белый гауссовский шум с нулевым средним

Тогда из общего соотношения между уравнениями Ланжевена и Фоккера — Планка следует (см. разд. 2.9), что удовлетворяет уравнению движения (2.10.17). Однако, Эйнштейн (Einstein, 1906) указал на то, что стохастическое уравнение (2.10.18) приводит к внутреннему противоречию, потому что скорость, в действительности, не существует. Если попытаться определить среднеквадратичную скорость для процесса Винера в виде то при помощи соотношения (2.10.12) получим выражение

которое не имеет предела при Таким образом, стохастическое уравнение (2.10.18) не имеет глубокого физического смысла.

Задачи

(см. скан)

(см. скан)