Глава 19. ДВУХМОДОВЫЙ КОЛЬЦЕВОЙ ЛАЗЕР

В случае, когда возбуждено несколько мод лазера, необходимо использовать разложение (18.2. 4) электромагнитного поля в оптическом резонаторе. Тогда лазерное поле описывается несколькими амплитудами мод и т.д. и поэтому имеет больше степеней свободы, чем раньше. Хотя несложно повторить вычисления, приведенные в разд. 18.2 и разд. 18.3 и вывести уравнения движения, дополнительные степени свободы существенно усложняют поведение лазера, который может демонстрировать совершенно новые явления. По этой причине мы посвящаем двухмодовому лазеру отдельную главу.

Среди различных видов двухмодовых лазеров особенно интересным и удобным для эксперимента является кольцевой лазер, одна из возможных схем которого показана на рис. 19.1. В отличие от обычного лазера, оптический резонатор которого имеет два зеркала и нормальные моды в виде стоячих волн (ср. разд. 18.2), в кольцевом лазере используется открытый резонатор, образованный тремя или более зеркалами, расположенными в углах полигона или «кольца», нормальные моды которого являются бегущими волнами. Некоторые волны распространяются по часовой стрелке в резонаторе, а некоторые — против часовой. Хотя моды, бегущие в обоих направлениях, могут иметь одинаковую частоту, они, тем не менее, являются различными модами резонатора, которые можно возбуждать независимо. Более того, как видно из рис. 19.1, излучение разных мод покидает резонатор в различных направлениях, что облегчает изучение возбуждений мод по отдельности. Наоборот, две продольные моды лазера стоячей волны, обычно, можно разделить только с помощью интерферометра.

Рис. 19.1. Возможная схема кольцевого лазера

В этой главе мы сосредоточимся на двухмодовом кольцевом лазере, в котором волны распространяются по кольцу в каждом направлении. Вместо простых модовых функций стоячей волны, задаваемых выражением (18.2.5), мы представим две моды, бегущие вдоль одного плеча кольца, через моды плоских волн

с векторами направленными одинаково. Длины этих векторов равны где целое число, I — длина пути по кольцу. Нормализация этих модовых функций возможна только тогда, когда предполагается, что плоские волны имеют площадь поперечного сечения В этом случае можно выбрать нормировочную константу К, равную С другой стороны, для более реалистического описания мод конфокального кольцевого лазера, можно использовать модовые функции типа тех, которые задавались формулой (18.2.6), если не считать того, что множитель заменяется величиной Поскольку противоположно распространяющиеся волны кольцевого лазера делят между собой одну и ту же активную среду и один и тот же резонатор, то процессы усиления и потерь двух мод, обычно, довольно похожи. Тем не менее, поскольку геометрия лазера может быть несимметричной, и поскольку потери при

отражении и дифракции могут немного отличаться для двух направлений, для описания системы необходимо использовать два параметра накачки несмотря на то, что они, обычно, не очень сильно отличаются.

Пока двухмодовый кольцевой лазер остается в покое, две противоположно распространяющиеся моды бегущей волны, обычно, имеют одну частоту. Однако, когда система вращается вокруг оси, перпендикулярной плоскости кольца, частота одной моды увеличивается, а частота другой уменьшается. Разность частот пропорциональна угловой скорости вращения, что дает возможность использовать кольцевой лазер в качестве инерционного гироскопа для абсолютных измерений вращения (Lamb, 1964; Aronowitz, 1965, 1971; Menegozzi and Lamb, 1973; Sargent, Scully and Lamb, 1974).

19.1. Уравнения движения

Для полуклассического рассмотрения двухмодового лазера воспользуемся тем же общим методом, что и в разд. 18.2. Выражение (18.2.11) для поля необходимо заменить более общим разложением по модам (18.2.4), и тогда уравнение движения (18.2.12) принимает вид

где частоты двух мод лазера, а и — их среднее значение. Мы допустили, что «проводимости» могут быть разными для двух мод, чтобы получить возможность рассмотрения случая разных потерь. Выражение (18.2.19) для среднего значения дипольного момента заменяется теперь следующим:

С этого момента будем считать, для простоты, что частоты двух мод одинаковы и совпадают с частотой атомного перехода, так что уравнения описывают невращающийся кольцевой лазер.

Выделим теперь амплитуду одной моды в левой части (19.1.2), например умножая обе части уравнения на и интегрируя, как и раньше, по объему резонатора. Из-за свойства ортонормированности (18.2.9), члены в левой части, пропорциональные обращаются в нуль. Используя (19.1.3), для выражения поляризации через атомную плотность получаем

Если модовые функции и удается аппроксимировать выражениями (19.1.1), которые соответствуют бегущим волнам в активной среде, то несколько подынтегральных выражений становятся сильно осциллирующими, и соответствующие интегралы дают пренебрежимо малый вклад. Среди членов, линейных по выживает только первый, а среди нелинейных по членов, только первые два вносят ощутимый вклад. Если обозначить

как и в разд. 18.2, то (19.1.4) принимает более простой вид

После введения, как и раньше, параметров и представляющих, усиление, потери и нелинейность

уравнение (19.1.6) сводится к следующему:

Таким же образом, умножая каждый член в (19.1.2) на и интегрируя, получаем уравнение движения

для амплитуды другой моды. Если не считать перекрестных членов эти уравнения подобны полученному в предыдущей главе уравнению (18.2.25), описывающему поведение одномодового лазера. Однако из-за перекрестных членов, два уравнения движения оказываются связанными и должны решаться одновременно. Эта связь, как мы еще увидим, приводит к некоторым новым явлениям. Необходимо отметить, что если интенсивности двух мод приблизительно равны, то нелинейный вклад перекрестных членов в два раза больше вклада членов или поскольку в два раза больше путей для реализации вклада перекрестного взаимодействия в нелинейную поляризацию.

Однако это справедливо только до тех пор, пока активная среда однородно уширена, и все атомы вносят одинаковый вклад в лазерное поле. Если доминирует неоднородное уширение, обусловленное доплеровскими сдвигами, возникающими из-за движения атомов, то связь мод ослабляется в 2 раза в центре линии. В общем случае, она зависит от расстройки между частотой резонатора и центральной частотой неоднородно уширенной линии. Можно показать, что константа связи, представленная в уравнениях (19.1.8) и (19.1.9) множителем 238, заменяется величиной где естественное время жизни лазерного перехода (Smirnov and Zhelnov, 1969; M-Tehrani and Mandel, 1976, 1977). Кроме того, коэффициенты усиления и насыщения становятся функциями расстройки Мы не будем учитывать все эти особенности, но для того, чтобы охватить различные случаи, запишем уравнения (19.1.8) и (19.1.9) в более общем виде

исходя из предположения, что безразмерная константа связи задается следующим образом

Если расстройка достаточно большая, то и тогда два уравнения (19.1.10) описывают два почти независимых одномодовых лазера.

Для того чтобы понять причину зависимости от частоты, рассмотрим атом, движущийся со скоростью в направлении моды 1 резонатора (рис. 19.2). Этот атом будет взаимодействовать с модой 1, только если частота моды превышает частоту атомного перехода так что

Рис. 19.2. Движущийся атом в присутствии двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях

естественная ширина атомного перехода). Причина этого в том, что в сопутствующей атому системе координат, частота воспринимается как доплеровски смещенная: Аналогично, этот атом будет взаимодействовать с модой 2, только если частота этой моды естественная ширина атомного перехода), поскольку частота воспринимается атомом, как доплеровски смещенная вверх. Если фактически равна но отличается от со более чем на естественную ширину атомного перехода, то две моды не могут взаимодействовать с одним и тем же атомом, а взаимодействуют лишь с разными атомами, так что они практически не связаны. Только если и находятся в пределах естественной ширины атомного перехода, имеется ощутимая связь между модами. Можно показать (Sargent, Scully and Lamb, 1974; Singh, 1980), что для некоторых атомных переходов двухмодового зеемановского лазера, может иметь значения между 1 и 2.

Хотя основное внимание в этой главе уделено кольцевому лазеру, при некоторых условиях уравнения (19.1.10) с могут также описывать в первом приближении однородно уширенный двухмодовый лазер стоячей волны, при условии, что разность частот двух мод мала по сравнению с естественной шириной атомного перехода.