11.11. Многомодовые поля

До сих пор рассмотрение когерентных состояний и основанных на них представлений ограничивалось случаем одномодового электромагнитного поля. Теперь наступил момент возвращения к более общей ситуации, когда имеется неограниченное множество мод, различающихся волновым вектором к и индексом поляризации

Когерентное состояние, принадлежащее этому большому гильбертову пространству, различается теперь множеством комплексных чисел по одному для каждой моды, и задается в виде прямого произведения состояний по всем модам

Этот общий вариант, очевидно, содержит частный случай, когда заселена только одна мода поля, а остальные являются незаполненными. Удобно опять воспользоваться обозначением для множества комплексных чисел Тогда можно обозначить когерентное состояние через и записать

Состояние и сопряженное ему состояние являются, кроме того, правым и левым собственными состояниями операторов так что

Из (11.6.1) следует, что скалярное произведение двух когерентных состояний равно

так что

Сразу ясно, что эти выражения не будут обращаться в нуль, так же, как для одномодовых полей, только если

Так как

условие (11.11.6) будет удовлетворено, если для каждого когерентного состояния

что означает согласно (11.2.13), что среднее число фотонов конечно.

Разложение единичного оператора по когерентным состояниям можно представить в виде произведения операторов в (11.6.4) по всем модам. В результате получим

Удобно ввести обозначение

для произведения дифференциалов и использовать обозначение

для произведения перенормированных дифференциалов. Это позволяет записать (11.11.8) в компактном виде

что выражает полноту когерентных состояний.

Для оператора плотности можно опять задать диагональное представление по когерентным состояниям, которое принимает вид

где является теперь функционалом на множестве который называется весовым функционалом.

Для любого функционала нормально упорядоченных операторов рождения и уничтожения можно сформулировать оптическую теорему эквивалентности, которая является точным аналогом (11.9.4), и мы записываем

Например, рассмотрим нормально упорядоченный характеристический функционал

который формально является многократным фурье-образом весового функционала. Обратное преобразование Фурье выражения (11.11.13) дает весовой функционал

Как и раньше, фурье-образ может не существовать в смысле теории обычных функций, но может существовать как обобщенный функционал.

Различные операторы электромагнитного поля типа имеют особенно простые средние значения, если поле находится в когерентном состоянии. Воспользовавшись разложениями по модам и соотношениями для собственных значений (11.11.2) и (11.11.3), сразу найдем

Видно, что каждое из этих разложений, в точности, имеет вид разложения по модам соответствующего классического поля. Тем не менее, как уже было показано в случае одной моды, дисперсия векторов поля в когерентном состоянии не обращается в нуль, несмотря на то, что полученные выражения для средних значений каждых из векторов предполагает наличие сильного сходства с классическим полем, имеющим точно определенную комплексную амплитуду. Это еще один пример различия между классическим и квантовым описаниями электромагнитного поля.

В разд. 11.8 мы обратили внимание на то, что поле лазера, генерирующего одну моду при существенном превышении порога, можно рассматривать как смесь одномодовых когерентных состояний с одинаковым значением но со случайно распределенными значениями Рассмотрим соответствующий функционал фазового пространства во многомодовом обозначении. Если соответствуют возбужденной моде поля, а все остальные моды не возбуждены, и если возбуждение моды характеризуется выражением (11.8.14), то, очевидно, получаем

Данное представление состояния все еще излишне упрощает действительную физическую ситуацию, поскольку, фактически, частота света не постоянна, а дрейфует в пределах некоторого узкого диапазона Однако, с точки зрения последовательности случайно распределенных во времени измерений, каждое из которых занимает интервал времени меньший, чем дрейф частоты не наблюдается. В этом случае экспериментальная ситуация довольно хорошо описывается весовым функционалом (11.11.18).