2.7. Основные уравнения в интегро-дифференциальной форме

Воспользуемся общим интегральным соотношением (2.6.2), которое связывает плотность вероятности с плотностью в более ранний момент времени, для получения производной по времени от Если в уравнении (2.6.2) положить то получим (для простоты опускаем индекс

Используя условие нормировки при интегрировании по можно также записать

Тогда из первых принципов следует, что

где использован результат [ср. (2.6.3)]

Введем теперь следующее обозначение для скорости изменения

В том случае, когда есть плотность вероятности перехода, называется скоростью перехода. Она удовлетворяет ряду простых соотношений, которые непосредственно вытекают из определения. Первое

потому что равно нулю, тогда как неотрицательна. Также

так как при интегрировании обе условные плотности вероятности в выражении (2.7.4) дают единицу. Однако, как мы увидим ниже, на примере в разд. 2.10, в некоторых случаях может быть сильно сингулярной функцией. Используя в уравнении (2.7.3) определение (2.7.4), получим уравнение движения

Это уравнение иногда называют основным уравнением Паули, в честь Паули (Pauli, 1928, с. 30), получившего похожее уравнение для квантовой системы на основе предположений, которые здесь не рассматриваются (см. разд. 17.3). Это уравнение имеет характер скоростного уравнения и говорит о том, что увеличивается со скоростью, определяемой скоростями перехода из других значений и уменьшается со скоростью, определяемой скоростями перехода от в другие значения

В силу свойства (2.7.6) второй член в уравнении (2.7.7) при интегрировании дает нуль и его можно переписать в виде

хотя более симметричная форма (2.7.7) иногда предпочтительнее. В особом случае, когда скорость перехода является симметричной

уравнение (2.7.7) упрощается:

В заключение заметим, что для случайного процесса, принимающего только дискретные значения основное уравнение принимает форму

В уравнении есть вероятность, а не плотность вероятности.

Несмотря на то, что основное уравнение (master equation), которое мы получили, справедливо, в принципе, для любого случайного процесса в общем случае оно оказывается полезным только для марковского процесса первого порядка. Это связано с тем, что только в этом случае полностью определяется динамикой процесса и не зависит от всех других вероятностей. То же самое можно сказать и о скорости перехода В более общей ситуации зависит от вероятностей процесса в более ранние моменты времени. Тогда предпочтительно иметь дело с временной эволюцией совместной плотности вероятности которая включает в себя скорости перехода, обусловленные более ранними значениями случайного процесса (Oppgenheim, Shuler and Weiss, 1977, гл. 3; Srinivas and Wolf, 1977). Здесь мы не будем рассматривать общего случая.