21.9. Сжатие высшего порядка

Наше определение и трактовка сжатия, приведенные выше, связаны со вторым моментом сжатого поля. Явление, которое мы уже обсудили, могло бы соответственно называться сжатием второго порядка. Однако концепция сжатия может легко быть обобщена так, чтобы иметь отношение к высшим моментам поля. Сейчас мы кратко рассмотрим это обобщение и обсудим определение сжатия высшего порядка, изложенное в работах (Hong and Mandel, 1985а, b). Затем мы обсудим один простой пример. Для простоты снова ограничимся одномодовым полем.

Мы уже видели, что сжатое состояние, основанное на определении (21.1.7) полевых квадратурных компонент как правило, характеризуется тем, что для некоторого фазового угла величина меньше, чем в вакуумном состоянии. Пусть — две квадратуры, задаваемые выражениями (21.8.4), которые необязательно являются безразмерными и которые пропорциональны Тогда подобное утверждение может быть сделано и относительно Оно имеет естественное обобщение на любую четную степень Мы будем говорить, что поле проявляет сжатие порядка для четного если меньше соответствующего момента в вакуумном состоянии для некоторого фазового угла Однако, альтернативное определение (21.2.3), состоящее в том, что в сжатом состоянии, приходится обобщать с осторожностью, потому что условие не эквивалентно предшествующему определению сжатия порядка, когда

Как и прежде, можно связать с нормально упорядоченными моментами поля, хотя эта связь является более сложной. С помощью тождества Кемпбелла — Бейкера — Хаусдорфа [см. (10.11.26)] можно легко показать, что для любого х

где есть обычный символ нормального упорядочения и С обозначает коммутатор Разлагая обе стороны в ряд по и приравнивая коэффициенты при мы приходим для любого четного числа к следующему соотношению:

где Теперь все нормально упорядоченные моменты обращаются в нуль в вакуумном состоянии, потому что операторы уничтожения, действующие слева на вакуумное состояние, дают нуль. Отсюда следует, что последний член в правой части выражения является моментом величины в вакуумном состоянии. Следовательно, чтобы существовало сжатие порядка четное), один или более нормально упорядоченных моментов должны быть отрицательными.

Стоит отметить, однако, что не все нормально упорядоченные моменты должны быть обязательно отрицательными. Действительно, может быть достаточно того, чтобы лишь один член в ряду моментов из (21.9.2) был отрицательным, если этот отрицательный член доминирует над другими моментами. Это приводит нас к определению внутреннего сжатия порядка. Будем говорить, что поле является сжатым внутренне в порядке четное), если для некоторого

При определения для сжатия порядка и внутреннего сжатия порядка совпадают, но это не так, когда Поле может быть внутренне сжатым только во втором порядке и, кроме того, проявлять сжатие более высокого порядка.

Можно показать, что это действительно так в случае резонансной флуоресценции двухуровневого атома. Поле, созданное генерацией гармоники является внутренне сжатым в порядке, когда четное, и в порядке, когда нечетное В многофотонном поглощении порядка сжатие является внутренним, за исключением случая В качестве примера сжатия высшего порядка мы сейчас рассмотрим двухфотонное когерентное состояние.