12.2.2. Символы и операторы упорядочения

Мы опять можем сократить выражение для если введем оператор интенсивности. Однако, в силу наличия нормального упорядочения и упорядочения по времени, операторное произведение в выражении (12.2.12) нельзя записать как простое произведение операторов интенсивности. Чтобы разрешить эту ситуацию вводятся несколько различных элементов обозначения. Двоеточия, окружающие оператор (например, иногда используются в качестве символа нормального упорядочения, который приводит оператор в нормальный порядок, не используя коммутационные соотношения. Например, означает оператор а) а, тогда как аапоскольку уже нормально упорядочен. Также и т.п.

Обозначим через символ упорядочения по времени, который переставляет операторы рождения в прямой временной порядок, а операторы уничтожения в обратный временной порядок так, что если то мы имеем, например,

С помощью таких обозначений можно переписать формулу (12.2.12) в более компактном виде

из которого видно, что совместная вероятность детектирования пропорциональна нормально и хронологически упорядоченной корреляционной функции интенсивности оптического поля. Последнее выражение выполняется для свободного поля и вновь является следствием оптической теоремы эквивалентности. Если каждый детектор реагирует на все направления поляризации, то мы получим совместную -кратную вероятность, используя операторы суммарного поглощения. Таким образом, имеем

причем опять последняя строка выполняется для свободного поля. Это выражение похоже на полуклассическое (9.6.4), полученное в случае, когда электромагнитное поле не квантовано. Если функционал в фазовом пространстве который входит в расчеты ожидаемых значений, имеет характер классического вероятностного функционала, то не существует никакой разницы между выражениями, полученными в рамках квантовой электродинамики и в рамках полуклассического подхода. В разд. 14.5 мы увидим, что формулы (12.2.13), (12.2.14) могут быть получены при точном рассмотрении взаимодействия поля с детектором.

Символ нормального упорядочения используемый в (12.2.13) и (12.2.14), не следует рассматривать как линейный оператор, а просто как элемент обозначения. Хотя операция и имеет свойство линейности это равенство может не выполняться, если что вовсе не означает . К примеру, в соответствии с коммутационным соотношением для операторов рождения и уничтожения, мы имеем но потому что

Однако можно ввести линейный оператор, который действует на с-числовой функционал набора комплексных чисел и приводит к нормально упорядоченному оператору, в котором каждая заменяется

на , а каждая на a) (Agarwal and Wolf, 1970а, b, с). Мы обозначим линейный оператор нормального упорядочения как и определим его соотношением

где нормально упорядоченный функционал набора операторов рождения и уничтожения.

Например, Мы получили явное выражение для (а также и для других операторов упорядочивания) в разд. 11.10. С его помощью мы также можем записать (12.2.14) в виде