1.5. Некоторые примеры распределений вероятности

1.5.1. Распределение Бернулли или биноминальное распределение

Рассмотрим последовательность из независимых испытаний или наблюдений, в ходе которых сосредоточим внимание на реализации некоторой отличительной особенности («успех»), которая имеет вероятность по отношению к любому другому испытанию. Мы хотим определить вероятность того, что имеется удачных попыток из испытаний Так как все испытания независимы, вероятность реализации определенной последовательности успешных попыток из неудач является произведением соответствующих вероятностей, которое равно независимо от порядка, в котором успешные попытки и неудачи происходят. Но имеется различных комбинаций из успехов и неудач, каждая из которых имеет одну и ту же вероятность. Полная вероятность является поэтому суммой вероятностей для этих различных комбинаций, или

Это распределение вероятности называется распределением Бернулли или биноминальным распределением; последнее название возникло из-за того, что выражено в биноминальной форме Отметим, что содержит два независимых параметра — и что

что и требовалось. Вид распределения вероятности для симметричного случая проиллюстрирован на рис. 1.6.

Нетрудно рассчитать моменты для непосредственно из выражения (1.5.1). Кроме того, можно так же легко определить производящую функцию моментов. Из выражения (1.5.1) имеем:

С помощью этого выражения моменты вычисляются путем разложения в ряд по

Рис. 1.6. Несколько кривых распределения Бернулли при

Оказывается факторпальные моменты намного проще, чем обычные моменты, и мы получаем для производящей функции формулу

Факториальный момент который является коэффициентом при определяется по формуле

В частности, выбирая для первых двух моментов получаем выражения:

Моменты высших порядков получаются, соответственно, более сложными. Дисперсия будет наибольшей, когда для любого заданного т.е. когда распределение является симметричным относительно Хотя ширина среднего квадратичного отклонения растет с увеличением заметим, что относительная ширина

стремится к нулю, поскольку так что в относительном смысле распределение становится уже при увеличении Асимметрия и эксцесс определяемые выражениями (1.3.27) и (1.3.28), равны соответственно. Первый из них становится равным нулю при и стремится к нулю при независимо от в то время как второй параметр стремится к при