4.5.2. Когерентный свет в пространственно-временной области

Ранее мы показали, что абсолютные значения степеней когерентности имеют верхний предел, равный единице. При достижении этих граничных значений в соответствующих интерференционных экспериментах имеют место интерференционные полосы с максимально возможной видностью, равной единице. Эти предельные случаи соответствуют полной когерентности второго порядка.

Полная когерентность второго порядка в пространственно-временной области подразумевает определенные функциональные формы комплексной степени когерентности и функции взаимной когерентности соответственно, в пространственно-частотной области полная когерентность второго порядка предполагает определенные функциональные формы спектральной степени когерентности и взаимной спектральной плотности

В этом разделе мы рассмотрим полную когерентность второго порядка в пространственно-временной области. Соответствующие результаты, относящиеся к пространственно-частотной области будут рассмотрены нами в следующем разделе.

Начнем с условия неотрицательности, которому удовлетворяет комплексная степень когерентности

справедливого для любого положительного целого числа любого набора точек любого набора временных параметров и любых действительных или комплексных постоянных Неравенство (4.5.21) следует из выражений (4.3.37) и (4.3.12а). При это условие дает

для всех действительных значений и для любого набора точек из области в которой определена комплексная степень когерентности Вычисляя детерминант в выражении (4.5.22) и используя соотношение эрмитовости

которое следует из (4.3.36) и (4.3.12а), получим следующее неравенство, справедливое для всех значений

С помощью этого неравенства мы можем легко вывести ряд теорем, касающихся полной когерентности второго порядка в пространственно-временной области.

(а) Полная автокогерентность в заданной точке

Предположим, что свет в некоторой точке области является полностью когерентным в том смысле, что

для всех значений Это предположение подразумевает, что

где некоторая действительная функция действительной переменной возможно, (эта зависимость не указана явно). Поскольку удовлетворяет условию (4.5.23), в свою очередь, должна удовлетворять соотношению

где целое число.

Положим в неравенстве воспользуемся выражением (4.5.25). В результате получим следующее неравенство:

Поскольку его левая часть заведомо неотрицательна, то очевидно, что неравенство (4.5.28) выполняется только, если его левая часть обращается в нуль, т.е.

При отсюда следует, что

Теперь положим в (4.5.29) и воспользуемся выражениями (4.5.26) и (4.5.27). В результате получим следующее функциональное уравнение для

где произвольное целое число.

Для решения функционального уравнения (4.5.31) используем тот факт, что оно справедливо для всех значений и 73. Дифференцируя (4.5.31) по и затем полагая получим следующее дифференциальное уравнение для

где константа. Интегрируя (4.5.32) по находим, что функция имеет вид

где константа. Из (4.5.26) и (4.5.33) следует, что

Теперь учтем, что Следовательно, константа в (4.5.34) должна быть целым, кратным Более того, поскольку , так же, как и является аналитическим сигналом, т.е. содержит только положительные частотные компоненты, константа должна быть положительной. Тогда

Подставляя (4.5.35) в (4.5.30), получим выражение для

Из этой формулы и соотношения (4.5.23) мы также получим выражение

Подводя итог, можно выразить полученный нами основной результат следующим образом: если свет является полностью автокогерентным в некоторой точке в смысле то функции длят и всех значений должны иметь вид, задаваемый выражениями т.е. должны быть периодическими по

(б) Полная взаимная когерентность в двух заданных точках

Рассмотрим случай, когда свет является полностью взаимно когерентным в двух точках лежащих в области в которой заключено оптическое поле. Математически это предположение записывается в виде

при условии, что фиксированы. Наши дальнейшие рассуждения будут аналогичны изложенным выше. Полагая в (4.5.24) и используя (4.5.38), получим неравенство

которое, очевидно, справедливо только, если соотношение

выполняется для всех значений и 73. Вычисляя абсолютное значение обеих частей выражения (4.5.40) при и вновь используя (4.5.38), получим

По аналогии при находим, что

Выражения (4.5.41) и (4.5.42) означают, что поле полностью автокогерентно в каждой из точек Следовательно, согласно ранее полученным результатам можно записать

Поскольку, согласно (4.5.38), унимодулярная функция, из (4.5.44) следует, что

где действительная постоянная. И, наконец, полагая в (4.5.40) и воспользовавшись (4.5.45), получим формулу

которая справедлива для всех

Таким образом, мы показали, что если свет в двух точках является взаимно полностью когерентным в смысле то функции для всех значений должны иметь вид, заданный выражениями более того, если некоторая другая точка области то связаны между собой соотношением где действительная постоянная.

(в) Полная когерентность в объеме

В заключение рассмотрим случай, когда свет является полностью когерентным в объеме в том смысле, что

и для всех Мы вновь начнем с рассмотрения неравенства (4.5.24), где на сей раз мы положим и воспользуемся нашим предположением (4.5.47). В результате получим соотношение

Выражение (4.5.47) предполагает, что

где действительная функция. Из (4.5.48) и (4.5.49) следует, что фазовая функция удовлетворяет функциональному уравнению

где целое число. Начало координат в может быть выбрано таким образом, что Тогда из (4.5.50) мы получаем соотношение

где функция, зависящая только от Из (4.5.49) и (4.5.51) следует, что

Далее согласно нашему предположению о полной когерентности второго порядка (4.5.47) мы можем применить формулу (4.5.44) при После подстановки (4.5.52) в (4.5.44) получим следующее выражение для

Таким образом, мы установили следующее: Если поле полностью когерентно в объеме т.е. если имеет место для всех точек и для всех значений то комплексная степень когерентности должна иметь вид, заданный выражением где действительная функция радиус-вектора. Из определения комплексной степени когерентности (4.3.12а) следует, что в этом случае функция взаимной когерентности принимает факториз о ванный вид и является периодической по

где

средняя интенсивность в точке фазовый множитель, положительная константа.

Если область представляет собой свободное пространство, то функция взаимной когерентности удовлетворяет двум волновым уравнениям (4.4.11). Подставляя (4.5.54) в эти уравнения, получаем, что функция подчиняется уравнению Гельмгольца:

где

с — скорость света в вакууме.

В этом разделе мы показали, что полная когерентность в пространственно-временной области всегда предполагает периодическую зависимость комплексной степени когерентности и функции взаимной когерентности от Следовательно, спектральная и взаимная спектральная плотности таких полей представляют собой дельта-функции Дирака, имеющие сингулярность на некоторой положительной частоте Очевидно, что такие поля не могут существовать в природе. Их следует рассматривать как математическую идеализацию, а не как реальные оптические поля.

Далее мы рассмотрим полную когерентность в пространственно-частотной области.