11.6. Когерентные состояния как базис. Неортогональность и переполненность

До настоящего момента мы рассматривали свойства когерентных состояний, представляя их через другие, более знакомые состояния. Но одной из главных причин важности когерентных состояний в квантовой оптике является то, что они сами образуют базис для представления произвольных квантовых состояний. Поскольку когерентные состояния являются собственными состояниями неэрмитового оператора, представление по когерентным состояниям имеет некоторые необычные свойства, которые мы сейчас и изучим.

Рассмотрим скалярное произведение двух когерентных состояний . С учетом разложений (11.2.9) и (11.2.10) по фоковским состояниям получаем

где последнее выражение имеет вид произведения действительного числа и унимодулярного фазового множителя. Очевидно, что есть модуль величины т.е.

Поскольку не существует значений при которых это выражение обращается в нуль, два когерентных состояния никогда не будут ортогональными, в отличие от более привычной ситуации с собственными

векторами эрмитовых операторов. Если то правая часть выражения (11.6.1) равна единице, что согласуется с условием нормировки.

Хотя скалярное произведение двух когерентных состояний никогда не обращается в нуль, оно может оказаться очень малым даже при довольно небольших разностях между комплексными числами В качестве примера рассмотрим два когерентных состояния с собственными значениями С точки зрения статистики фотонов два состояния довольно близки, так как средние числа фотонов и моменты числа фотонов низшего порядка почти одинаковы. Тем не менее, модуль скалярного произведения так что состояния почти ортогональны. Это есть отражение того факта, что при больших функция становится похожей на -функцию.

Несмотря на свою неортогональность, когерентные состояния накрывают полное гильбертово пространство векторов состояний и образуют удобный базис для представления других состояний. Чтобы это показать, осуществим разложение единичного оператора 1 по проекционным операторам на когерентные состояния. Рассмотрим интеграл

где интегрирование производится по всей комплексной -плоскости. Символ есть сокращенное обозначение для Записывая так что и используя разложения (11.2.9) и (11.2.10), получаем

Если формально поменять местами суммирование и интегрирование и выполнить интегрирование по в, то получим множитель который сводит двойное суммирование к одинарному. В результате найдем, что

в силу полноты множества фоковских состояний. Следовательно, мы показали, что когерентные состояния также удовлетворяют условию полноты, так что они образуют базис для представления других состояний.

Таким образом, если представляет собой некоторое произвольное состояние, то после умножения его слева на единичный оператор в виде (11.6.4), получаем

Это есть разложение по когерентным состояниям с амплитудами Далее, как правило, будем считать, что по умолчанию интегрирование производится по всей комплексной -плоскости.