Глава 17. ОБЩИЕ МЕТОДЫ ИЗУЧЕНИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ СИСТЕМ

В предшествующих главах был решен целый ряд характерных задач, касающихся взаимодействия электромагнитных полей с зарядами, атомами или молекулами, для анализа которых применялись различные подходы. Например, для задачи фотоэлектрического детектирования, которая подразумевает короткие времена взаимодействия, оказалось удобным использовать методы теории возмущений, тогда как задача резонансной флуоресценции рассматривалась путем решения уравнений движения Гейзенберга. В последующих параграфах будут рассмотрены некоторые общие методы решения проблем взаимодействия, которые, при условии их применимости, могут существенно упростить задачу. В качестве иллюстрации полезности этих методов будут пересчитаны многие результаты, полученные до этого различными способами.

17.1. Квантовая теорема регрессии

Лэксом (Lax, 1963; см. также Louisell, 1973, разд. 6.6) было показано, что с помощью некоторых допущений о факторизации, часто оказывается возможным выразить многовременные функции корреляции определенных квантовомеханических операторов через одновременные средние значения. Этот результат сейчас известен как теорема регрессии. Поскольку многовременные функции корреляции играют довольно важную роль в квантовой оптике, эта теорема часто оказывается полезной и существенно упрощает некоторые вычисления. Далее мы будем использовать, главным образом, метод Лэкса.

Рассмотрим две взаимодействующие квантовые системы, которые для удобства будем называть системой и резервуаром Предположим, что система характеризуется полным ортогональным набором собственных состояний образующих базис, который может быть как дискретным, так и непрерывным. Для простоты будем считать, что базис дискретный. Оператор плотности полной системы в картине Шредингера охватывает гильбертовы пространства состояний и мы можем получить приведенный оператор плотности для или для взяв след по противоположным переменным, так что

В частности, для может быть задано следующее представление через базис

где

Временная эволюция оператора плотности полной системы определяется унитарным оператором эволюции во времени так что

Сделаем теперь основное допущение, состоящее в том, что не взаимодействуют в начальный момент времени и поэтому

Временную эволюцию можно определить, используя формулы (17.1.3), (17.1.4) и (17.1.5) и записывая

Последняя строка получена из предыдущей с помощью циклической перестановки операторов под знаком следа. Далее запишем оператор в базисе следующим образом

где коэффициенты являются с-числами относительно гильбертова пространства , но операторами по отношению к гильбертовому пространству Это отмечено знаком и верхним индексом Подставляя (17.1.7) в (17.1.6) и используя представление (17.1.2) для получаем соотношение

где обозначено

Уравнение (17.1.8) показывает, что можно рассматривать как функцию Грина, определяющую эволюцию системы во времени. В частности, если то