16.6.3. Временная эволюция сверхизлучения

Расчет вероятности испускания фотона в течение короткого интервала времени в рамках теории возмущений не позволяет определять временную эволюцию системы на произвольных временах. Однако, используя соображения энергетического баланса (Rehler and Eberly, 1971), можно легко получить некоторую информацию о том, как скорость излучения изменяется во времени. Более точное квантовое рассмотрение, конечно, выходит за рамки теории возмущений первого порядка (Bonifacio, Schwendimann and Haake, 1971). Если умножить обе стороны выражения (16.6.11) на энергию возбуждения каждого атома и разделить на то получим среднюю скорость излучения энергии в виде фотонов. Эта скорость должна равняться скорости, с которой атомная система теряет энергию в среднем и которая согласно (16.5.7) определяется выражением

Приравнивая скорость излучения энергии скорости потерь, приходим к следующему уравнению движения:

которое описывает временную эволюцию системы. Предположение, что атомная система остается в чистом состоянии, конечно, учтено в этом уравнении. Мы также предполагаем, что большинство мод поля пусты и что с точки зрения атомной системы доля занятых мод электромагнитного поля остается достаточно малой, так что состояние поля можно продолжать аппроксимировать вакуумным состоянием. Когда второй член в правой части (16.6.13) обращается в нуль, и мы вновь получаем экспоненциальную скорость спада, характерную для спонтанного атомного излучения. Однако в общем случае решение намного сложнее.

Для того, чтобы решить уравнение (16.6.13), полагаем, что . Тогда дифференциальное уравнение (16.6.13) принимает вид

Если атомная система первоначально находится в полностью инвертированном состоянии, когда то после интегрирования по времени от до получаем выражение

После разложения подынтегральной функции в виде

и выполнения интегрирования, получаем формулу

или

Тогда из (16.6.11) следует, что скорость испускания фотонов атомной системой определяется выражением

а средняя атомная энергия равна

Когда легко находим, что что соответствует случаю невзаимодействующих атомов. Однако на более поздних временах когда начинают играть роль кооперативные эффекты, скорость излучения может быть существенно больше. Рис. 16.16 иллюстрирует зависимость скорости излучения от времени по формуле (16.6.16) для системы из атомов.

При импульс сверхизлучения становится симметричным, и полезно переписать эти величины по-другому. Введем полярный угол атомного вектора Блоха, полагая

Пусть есть момент времени, когда атомный вектор Блоха горизонтален, а атомная система является полу возбужденной. Тогда Из (16.6.15) следует, что

где как и прежде. Тогда из (16.6.18) имеем

Используя (16.6.19) и (16.6.20), можно записать этот результат в виде

Рис. 16.16. Скорость сверхизлучения (16.6.16) и скорость обычного спонтанного излучения для системы из атомов (с разрешения Джеймса)

До тех пор, пока является большим числом, и угол в достаточно велик, так что (а из (16.6.20) следует, что это справедливо на всех временах, для которых единицы в числителе и в знаменателе выражения (16.6.21) оказываются существенно меньше членов, пропорциональных Тогда в очень хорошем приближении имеем

Это приближение несостоятельно только в течение очень короткого промежутка времени в начале процесса излучения, пока кооперативные эффекты не стали существенными, и существенно не повернулся вектор Блоха.

Теперь воспользуемся чтобы выразить скорость излучения фотонов и среднюю атомную энергию через полярный угол Тогда, до тех пор, пока и кооперативные эффекты доминируют, можно записать

Из рис. 16.17 легко получаем, что

так что окончательно имеем

Следовательно, интенсивность оптического сверхизлучения имеет вид импульса в форме гиперболического секанса в квадрате, а амплитуда этого импульса сверхизлучения имеет тот же вид, который приведен на рис. 15.5. Когда процесс излучения закончен, и вектор Блоха направлен вниз.

Рис. 16.17. Иллюстрация, поясняющая вывод формул (16.6.25) и (16.6.26)

На рис. 16.18 показана зависимость интенсивности света от времени, задаваемая выражением (16.6.25). Пиковая интенсивность достигается в момент времени и она пропорциональна Длительность импульса порядка и может быть намного короче естественного атомного времени жизни. Появление

Рис. 16.18. Форма импульса оптического сверхизлучения

Рис. 16.19. Зависимость средней атомной энергии от времени при сверхизлучении

пика задержано на время Все эти характерные особенности сверхизлученя наблюдались экспериментально (Skribanowitz, Herman, MacGillivray and Feld, 1973; Gross, Fabre, Pillet and Haroche, 1976; Flusberg, Mossberg and Hartmann, 1977; Gibbs, Vrehen and Hikspoors, 1977; Raimond, Goy, Gross, Fabre and Haroche, 1982), хотя эксперименты, конечно, не могут быть выполнены при тех идеализированных условиях, которые предполагались в нашем анализе.

На рис. 16.19 показана временная эволюция средней атомной энергии. Видно, что спад энергии происходит очень быстро после вялого начала и что в момент времни средняя энергия уменьшается вдвое по сравнению с начальным значением.