15.2.1. Средние значения спиновых операторов

Мы уже видели в (15.2.8), что имеется связь между спиновыми операторами и четырьмя составляющими блоховского представления. Теперь установим еще одно соотношение между ними, вычисляя средние значения -операторов в произвольном квантовом состоянии, которое описывается оператором плотности

Используя выражение (15.2.8) для оператора плотности в картине Шредингера, получаем

Теперь учтем, что произведение двух различных -операторов есть другой оператор или каждый из которых имеет след равный нулю. Следовательно, единственный вклад в сумму дает член с и с помощью (15.1.12) находим, что

так как след единичного оператора равен 2 в случае двумерного гильбертового пространства. Элементы блоховского представления, поэтому, могут быть определены через средние значения спиновых операторов.

Здесь следует соблюдать некоторую осторожность, поскольку соотношения (15.2.3) и (15.2.14) не полностью эквивалентны. Среднее значение не зависит от картины, в которой оно вычислено, тогда как матрица плотности зависит от нее. Два определения (15.2.3) и (15.2.14) совпадают только в картине

Шредингера, поскольку представление квантового состояния должно быть фиксированным вектором в картине Гейзенберга и вращающимся вектором в картине Шредингера. Вследствие этого предпочтительнее рассматривать (15.2.14) как более фундаментальное определение, поскольку оно связывает со средними значениями физических наблюдаемых. Блоховский вектор в общем случае зависит тогда от времени и, строго говоря, представляет состояние только в картине Шредингера.

Используя (15.1.16), получаем теперь следующее выражение для среднего значения энергии

а учитывая (15.1.21) находим, что среднее значение дипольного момента задается выражением

Таким образом, z-компонента блоховского вектора есть мера энергии атома, тогда как компоненты связаны с дипольным моментом.

Если атом не имеет собственного дипольного момента, то среднее значение оператора обращается в нуль как в нижнем, так и в верхнем атомном состоянии, поскольку не имеет точно определенного значения в этих состояниях и флуктуирует. Из (15.1.17) и (15.1.21) легко находим, что

так что дисперсия дипольного момента

имеет наибольшее значение в этих состояниях. Вследствие флуктуаций атом может взаимодействовать с электромагнитным полем даже тогда, когда находится в квантовом состоянии или для которого Обратимся теперь к обсуждению взаимодействий атома с электромагнитным полем.