7.3.2. Проблема фазы

Теперь коротко рассмотрим общий случай, когда спектр несимметричен. В этом случае рассуждение, ведущее от выражения (7.3.2) к выражению (7.3.8), больше не применимо. Вместо этого мы поступим следующим образом. Сначала мы выполним обратное преобразование Фурье выражения (7.3.2) и получим формулу

В первом интеграле в правой части (7.3.14) сделаем замену переменных интегрирования на и используем соотношение

которое следует из определения (4.3.12а) 7 и из соотношения (4.3.36). Тогда мы получим для нормированной спектральной плотности выражение

где обозначает действительную часть. Теперь является в общем случае комплексной. Пусть является фазой т.е.

Если мы подставим (7.3.17) в (7.3.16) и воспользуемся тем, что согласно равно функции видности, то получим формулу

Эта формула показывает, что функция нормированной спектральной плотности (уже не предполагающаяся симметричной) может быть рассчитана из знания функции видности полос и фазы комплексной степени автокогерентности света. Мы ранее поняли, [ср. (4.3.28)], что может быть определена из измерений местоположения максимумов интерференционных полос. Такие измерения, однако, гораздо труднее выполнить, чем измерения функции видности.

Обычно предполагают, следуя обсуждению этого вопроса Рэлеем что измерения видности и положения максимумов интенсивности дают два независимых блока информации, так что оба они должны быть получены для определения асимметричного распределения спектра. Однако, недавние исследования, основывающиеся на теории когерентности (Wolf, 1962; Roman and Marathay, 1963; Marathay and Roman, 1964; Dialetis and Wolf, 1967; Dialetis, 1967; Nussenzveig, 1967), показали, что аналитические свойства комплексной степени когерентности накладывают определенные ограничения на фазовую функцию которые могут быть связаны с соответствующим модулем следовательно, с соответствующей кривой видности Предположим, что квадратично интегрируема, подчиняется условию Палея — Винера (Paley and Wiener, 1934, с. 16, теор. XII)

и является непрерывной функцией Тогда можно показать, что должна иметь вид

Здесь произвольная неотрицательная постоянная,

где обозначает главное значение интеграла по Коши, взятое при и

нули рассматриваемой как функция комплексного в нижней половине, комплексной плоскости

Результат, выраженный формулой (7.3.20), трудно доказать строго, и мы не будем выводить его здесь. Мы просто коротко покажем происхождение трех слагаемых в выражении (7.3.20) для фазы комплексной степени автокогерентности

Ранее мы поняли, что из-за того, что является аналитическим сигналом, она представляет собой граничное значение на действительной оси функции, которая является аналитической и регулярной в нижней половине плоскости скажем, (ср. разд. 3.1.1). Следовательно, функция

рассматриваемая как функция комплексного также будет аналитической в этой полуплоскости, но она будет иметь точки ветвления в точках в которых имеет нулевые значения. Если не имеет нулей ни на на действительной оси то аналитичность как может быть показано с помощью интегральной формулы Коши, приводит к тому, что фаза задается выражением (7.3.21) (ср. Page, 1955, с. 224) для действительных значений Этот вклад известен как минимальная

фаза, связанная с терминология, выражающая то обстоятельство, что, как можно легко показать, вклад в полную фазу в (7.3.20) неотрицателен.

Если рассматриваемая как функция комплексного имеет нули в полуплоскости или на действительной оси то можно показать, что каждый такой нуль дает вклад в полную фазу в качестве аддитивного слагаемого. Если нули не лежат на действительной оси, их вклад задается выражением под знаком суммирования в правой части (7.3.22). Этот вклад известен как фаза Блашке, потому что он является фазой так называемого множителя Блашке

Ясно, что такой множитель — функция, которая является аналитической и регулярной в нижней половине комплексной плоскости имеет единственный нуль в этой полуплоскости в точке и является унимодулярной на действительной оси Третье аддитивное слагаемое в правой части уравнения (7.3.20), которое линейно по влияет только на абсолютное положение спектрального распределения энергии, а не на его форму (профиль спектра), как легко видеть из теоремы «сдвига» для преобразования Фурье.

Если имеет нули на действительной оси, наши предыдущие предположения о непрерывности больше не справедливы. В этом случае можно показать, что фаза задается суммой выражения (7.3.30) и выражения, которое представляет вклад от нулей на оси. Эти вклады могут быть определены методом контурного интегрирования.

Из предыдущего обсуждения очевидно, что фазовая функция комплексной степени автокогерентности, которая необходима для однозначной реконструкции спектрального профиля методом Майкельсона, полностью определяется (что эквивалентно знанию кривой видности) и положением нулей аналитического продолжения в нижнюю половину комплексной плоскости (включая действительную ось К сожалению, положение нулей, которые не расположены на действительной оси не может быть определено, зная для действительных значений

Был предложен ряд косвенных методов для определения фазы и нормированного спектра из измерений модуля В одном методе спектр модифицируется при прохождении света через фильтр с экспоненциальным частотным пропусканием (Mehta, 1965), а в другом методе добавляется узкая, почти монохроматичная компонента на некоторой известной частоте (Gamo, 1963, с. 801). Сейчас мы кратко обсудим принципы, лежащие в основе этих методов.

Метод, в котором применяются экспоненциальные фильтры, основан на следующем. Поскольку рассматриваемая как функция комплексной переменной действительны), аналитична и регулярна в нижней половине комплексной плоскости ее модуль и фаза связаны следующими дифференциальными уравнениями, которые являются следствиями уравнений Коши — Римана:

Следовательно, если как так и ее производная известны на действительной оси, фаза на действительной оси может быть определена путем интегрирования уравнения (7.3.256). Тогда для можно получить выражение

Задача сводится к экспериментальному определению вне действительной оси; из этой информации могут быть оценены предельные значения производной при Для того, чтобы провести такие измерения, можно поступить следующим образом. Предположим, что имеется фильтр с экспоненциальным пропусканием где положительная постоянная, и что световой луч, у которого должно быть определено нормированное распределение спектра проходит через такой фильтр. Выходящий свет имеет модифицированное спектральное распределение

где — постоянная нормировки, которая представляет собой отношение первоначальной к модифицированной средней интенсивности света. Тогда комплексная степень автокогерентности прошедшего света задается как

или, с помощью выражения (7.3.27),

Эта формула показывает, что измерение вдоль действительной оси эквивалентно измерению вне действительной оси вдоль линии

Предыдущий анализ показывает, что с помощью экспоненциальных фильтров, т.е. фильтров, которые модифицируют спектр в соответствии с выражением (7.3.27), можно определить фазу комплексной степени автокогерентности вдоль действительной оси из (7.3.26).

Далее рассмотрим другой метод, упоминавшийся ранее, для определения спектра из измерений абсолютного значения комплексной степени автокогерентности. Предположим, что мы создаем другой световой луч, ширина полосы которого, имеющая центр на некоторой частоте много меньше, чем эффективная ширина Мы аппроксимируем спектр этого луча выражением где дельта-функция Дирака. Мы предположим, что частота лежит за пределами эффективного спектрального диапазона Если этот луч (который мы будем называть опорным) совмещается со световым лучом, спектр которого должен быть определен, то (нормированная) спектральная плотность результирующего луча равна

где отношение средних интенсивностей света двух составляющих лучей. Поэтому комплексная степень автокогерентности смеси равна

Из выражений (7.3.30) и (7.3.31) следует, что

Если определены как можно найти сумму последних двух членов из уравнения (7.3.32). Эти два члена представляют неизвестное спектральное распределение, смещенное на и образ этого распределения, отраженный относительно начала координат. Следовательно может быть выведено из Без опорного луча возникала бы существенная неопределенность при реконструкции, потому что степени автокогерентности, связанные с любым спектральным распределением и его зеркальным отображением на некоторой линии имеют одинаковые модули.

Две процедуры реконструкции, которые мы только что описали, были экспериментально проверены с определенным успехом (Kohler and Mandel, 1973); и также в связи с обратной задачей, касающейся пространственных, а не временных переменных

Были предложены другие методы определения фазы комплексной степени когерентности в контексте как интерференционной спектроскопии, так звездной интерферометрии. Один из них несколько напоминает второй из описанных нами методов, но вместо существенно монохроматичного светового луча в нем используется луч с произвольным, но известным спектром (Mehta, 1968). Другие предложенные методы используют измерения корреляций более высокого порядка, чем второй (например, Gamo, 1963; Beard, 1969).

Рис. 7.5. Определение инфракрасного спектра со средней длиной волны из интерферограммы: а — интерферограмма; б - спектр (Connes, 1961а)

Проблема получения фазовой информации из других данных, особенно из измерений интенсивности, имеет место не только в теории оптической когерентности, но и во многих других областях, например, в рентгеновской кристаллографии, электронной микроскопии и распознавании образов. Обзор некоторых методов, используемых для решения таких фазовых задач, дан в статьях Ферверды (Ferwerda, 1978) и Миллане (Millane, 1990).

Метод Майкельсона определения распределения энергии в спектральных линиях из кривых видности позднее был вытеснен в некоторой степени другим интерференционным методом, называемым фурье-спектроскопией (также известным как метод интерферограмм) (Fellgett, 1958а, b; Jacquinot, 1958, 1960; Strong and Vanasse, 1959; Connes, 1961a, b, c, d; Vanasse and Sakai, 1967). Этот метод, который используется, главным образом, в инфракрасном диапазоне спектра, позволяет определить действительную часть комплексной степени автокогерентности Зная как функцию в принципе можно полностью определить нормированную спектральную плотность. Пример показан на рис. 7.5.