9.2. Обзор элементарной квантовой механики

Предположим, что фотодетектор содержит большое число связанных электронов, сравнительно небольшое число которых может быть испущено под влиянием падающего электромагнитного поля. Предположим также, что различные акты испускания прямо не связаны друг с другом, и начнем с того, что сосредоточим наше внимание на отдельном электроне.

Согласно квантовой механике состояние электрона характеризуется определенным вектором состояния в гильбертовом пространстве. Для простоты мы здесь не будем рассматривать состояния, относящиеся к внутренним координатам таким, как спин. Динамические переменные, такие как энергия, импульс и т.д., которые характеризуют электрон, представлены эрмитовыми операторами которые действуют на вектор состояния. Эти операторы не обязательно коммутируют, и мы отличаем их от с-чисел значком В квантово-механической картине взаимодействия, которую мы здесь используем, состояние является функцией времени, которая эволюционирует согласно уравнению Шредингера

где энергия взаимодействия электрона, которая также, вообще говоря, зависит от времени. В картине взаимодействия любая динамическая переменная, такая как или импульс эволюционирует во времени согласно общему правилу

где невзаимодействующая или свободная часть энергии электронов, время предполагаемого включения взаимодействия. Вид взаимодействия будет обсуждаться подробно в разд. 14.1. Для нерелятивистского электрона с зарядом массой и импульсом взаимодействующего с электромагнитной волной с векторным потенциалом энергия взаимодействия может быть записана (разд. 14.1) в единицах СИ как

для электронов, находящихся в сильно связанном состоянии в положении

Подобно всем другим динамическим переменным имеет полную ортонормированную систему собственных состояний и соответствующие собственные значения удовлетворяющие соотношению

которые могут быть непрерывными или дискретными или частично теми и другими. Собственные значения представляют собой возможные реализации измерений энергии невзаимодействующих электронов Для простоты при записи общих соотношений мы будем рассматривать систему как формально дискретную, так что мы можем выразить ортонормированность состояний соотношением для скалярного произведения

и полноту суммой по проекторам

Тогда вероятность того, что электрон находится в квантовом состоянии с энергией равна квадрату проекции

Для того чтобы определить по заданному начальному состоянию мы должны проинтегрировать уравнение (9.2.1) по времени от до Формальное интегрирование преобразует дифференциальное уравнение в интегральное

которое является уравнением типа Вольтерра и может быть решено с помощью итераций. Таким образом, мы можем рассматривать начальное состояние как приближение нулевого порядка для и подставить его вместо под знаком интеграла. Это дает

что может быть использовано в качестве приближения первого порядка для под знаком интеграла в уравнении (9.2.7). Подстановка этого выражения обратно в интеграл дает приближение второго порядка

Действуя таким образом, мы получаем бесконечный ряд, который, в принципе, является решением уравнения (9.2.7). Однако, если время взаимодействия существенно мало, и особенно если мы интересуемся проекцией на некоторое другое состояние, то может оказаться достаточным обрезание ряда на первом неисчезающем члене. Например, если мы хотим рассчитать вероятность перехода из начального состояния в некоторое новое состояние в момент времени и если ортогонально то

в низшем неисчезающем порядке.