20.2. Основное кинетическое уравнения для поля усилителя

Рассмотрим систему из одинаковых двухуровневых атомов, взаимодействующих с одномодовым квантовым полем, из которых возбуждены, не возбуждены. В гл. 18 обсуждалась подобная задача, связанная с лазером, и полагалось, что одномодовое поле является собственной модой резонатора. То же самое, конечно, можно сделать и в данном случае, только теперь большую роль будут играть коэффициенты пропускания зеркал, ибо усилитель имеет как вход, так и выход. С целью максимального упрощения задачи, предположим, что мы имеем дело с собственной модой свободного поля, и что все атомы «видят» фактически одинаковое поле. Допустим, что частота поля совпадает с частотой атомного перехода, и пренебрежем любыми непосредственными дипольными взаимодействиями между атомами. Далее будем считать, что значения поддерживаются примерно постоянными во времени при помощи некоторого механизма накачки и потерь, который подробно рассматривать не будем. Пусть есть приведенный оператор плотности электромагнитного поля. Наша цель — вывести основное кинетическое уравнение для в картине взаимодействия.

Данная задача, конечно, подобна той, которая решалась в разд. 18.4 при квантовом рассмотрении лазера. Основное отличие состоит в том, что теперь нас интересует только линейный режим работы лазера и мы исключаем любые нелинейные взаимодействия атомов, содержащие испускание более чем одного фотона. Тогда, рассуждая так же, как и прежде, приходим к основному кинетическому уравнению (18.4.20), за исключением того, что коэффициент В, описывающий насыщение или нелинейность лазера, полагается теперь равным нулю

Как и прежде, А есть коэффициент усиления, определяемый населенностью возбужденного уровня, С — коэффициент потерь, связанный с невозбужденными атомами. Для простоты возьмем коэффициенты усиления и потерь, пропорциональные населенностям так что

где коэффициент А имеет порядок атомной ширины линии.

В разд. 18.5 было показано, что, используя диагональное представление оператора плотности по когерентным состояниям, а именно,

подставляя его в основное кинетическое уравнение и заменяя дифференциальными операторами, можно преобразовать операторное уравнение для в с-числовое уравнение Фоккера — Планка для Тогда можно рассматривать начальную весовую функцию (или плотность распределения в фазовом пространстве) как функцию, описывающую поле на входе усилителя света, а как функцию, описывающую поле на выходе в момент времени Полагая и используя (20.2.2), получаем из (18.5.8), что

Будем считать это уравнение — уравнением движения, которое описывает линейный усилитель света, имеющий на входе и на выходе