3.2.3. Пример: дифракция на полупрозрачном объекте

Для иллюстрации физического смысла представления в виде углового спектра мы рассмотрим распространение света через тонкий, полупрозрачный, слабо рассеивающий объект. Предположим, что объект помещен в плоскости и освещается монохроматической плоской волной, распространяющейся вдоль положительного направления оси z (см. рис. 3.13). Тогда пространственную часть волны можно представить в виде

где С — константа. Если показатель преломления объекта изменяется медленно, то можно предположить, что выходящее поле в хорошем приближении определяется уравнением

Рис. 3.13. Изображение тонкого полупрозрачного объекта

Если допустить, что только свет, проходящий через объект, попадает в полупространство то очевидно, что во всех точках вне области объекта на плоскости Функция называется функцией пропускания объекта или амплитудным пропусканием (в случае, когда свет падает нормально). Модуль представляет собой меру количества света, которое объект поглощает при его прохождении, а фаза есть мера оптической толщины объекта. Модуль и фаза — это те сведения о поле, которые часто необходимо найти. Поместив оптическую систему отображения, например, микроскоп, справа от объекта (т.е. в полупространстве можно было бы определить свойства объекта на основе анализа его изображения.

Допуская, что выражение (3.2.36) достаточно точно описывает изменение падающей волны из-за наличия объекта, ясно, что функция пропускания это максимум информации, который отображающая система может дать вблизи объекта. Посмотрим, сколько информации о содержится в прошедшей волне до того, как она достигнет системы отображения.

Из (3.2.35) и (3.2.36) следует, что на плоскости поле, исходящее из объекта, определяется формулой

В отсутствие системы отображения выражение (3.2.37) задает граничные значения свободно распространяющегося, удаляющегося на бесконечность поля в полупространстве Следовательно, согласно выражениям (3.2.19), (3.2.27) и (3.2.37) поле в полупространстве можно представить в виде

где

и предполагается, что вне области, где находится объект.

Согласно (3.2.38) амплитуда обычной плоской волны, которая обозначается в представлении угловым спектром прошедшей волны в виде определяется формулой

Мы видим, что волна несет информацию о фурье-компонентах функции пропускания, соответствующих двумерной пространственной частоте кор, которая соответствует пространственным периодам , связанным с формулами (3.2.20), которые мы перепишем в виде

Очевидно, что если достаточно велики, то т.е. волна будет распространяться в направлении, образующем малый угол в к оси z (см. рис. 3.10). При уменьшении угол в будет увеличиваться и в конце концов станет настолько большим, что соответствующие однородные волны не попадут в систему отображения. Следовательно, эта информация будет потеряна. Этот простой вывод ясно показывает истинную природу потери разрешения при формировании оптического изображения.

Далее рассмотрим информацию, которую несут затухающие волны, относительно малых деталей [см. (3.2.316)] структуры объекта. Поскольку амплитуда затухающих волн убывает экспоненциально при увеличении расстояния от плоскости объекта, эту информацию будет, очевидно, все сложнее и сложнее распознавать по мере ее удаления. В качестве примера рассмотрим периодический элемент с периодами

(Вторая формула в (3.2.42) означает, что объект является одномерным вдоль направления оси Согласно выражениям (3.2.41) и (3.2.42) информацию об этом элементе несут моды затухающих волн, для которых

В соответствии с (3.2.43) и (3.2.216) для этой волны имеем

и, следовательно, [см. (3.2.38)] пространственная часть волны запишется в виде

Поскольку

амплитуда этой волны уменьшается в раз на расстоянии длины волны от плоскости объекта и в раз на расстоянии десяти длин волн! Таким образом, на практике информация о тонких деталях объекта теряется при распространении света.