7.6.4. Некоторые частные случаи

(а) Рассеяние линейно поляризованного немонохроматического поля

Предположим, что падающее поле — это флуктуирующая немонохроматическая плоская волна, падающая в направлении, определяемом действительным единичным вектором с электрическим вектором, линейно поляризованном в направлении, определяемом единичным вектором (рис. 7.8). Тогда каждая реализация падающего поля может быть представлена в виде

Рис. 7.8. Рассеяние линейно поляризованной плоской, немонохроматической, электромагнитной волны. Векторы действительные единичные векторы в направлении распространения падающего поля и рассеянного поля , соответственно, тогда как действительный единичный вектор в направлении поляризации падающего электрического поля. Точка это точка в дальней зоне

Фурье-образ по очевидно, равен

где случайная переменная для каждой частоты Подставляя (7.6.41) в (7.6.30), можно заметить, что

где декартовы компоненты единичного вектора Теперь спектральная плотность падающего поля равна просто следу от и, следовательно, из уравнения (7.6.42) вытекает, что

Если мы используем это соотношение в уравнении (7.6.42), то увидим, что тензор взаимной спектральной плотности падающего поля задается выражением

Подставляя (7.6.44) в более общую формулу (7.6.39), мы получаем следующее выражение для среднего значения спектральной плотности рассеянного поля:

где

— волновой вектор компоненты и рассеянного поля,

— волновой вектор компоненты падающего поля это угол между направлением рассеяния и направлением поляризации падающего электрического поля, При выводе (7.6.45) мы также использовали тождество

На этом этапе полезно ввести функцию определенную формулой

Выражение (7.6.45) для спектральной плотности рассеянного поля в дальней зоне тогда принимает вид

Функция заданная выражением (7.6.49), имеет простое значение, что легко увидеть при подстановке из (7.6.37) в (7.6.49). Тогда можно найти, что

или, в более явной форме, если мы вспомним определение (7.6.28) функции

Мы видим, что это четырехмерный пространственно-временной фурье-образ двухточечной корреляционной функции диэлектрической восприимчивости рассеивающей среды; мы будем говорить о ней как об обобщенной структурной функции среды. Когда фактически не зависит от (т.е. когда находится за пределами резонансной области среды), она аналогична так называемому динамическому структурному фактору (Forster, 1975) для флуктуаций плотности частиц.

Формула (7.6.50), которая является главным результатом этого раздела, показывает, что когда падающее поле является линейно поляризованной немонохроматической плоской волной, спектральная плотность рассеянного поля в дальней зоне равна (с точностью до простых геометрических множителей) «взвешенному интегралу», взятому по спектру падающего поля. Этот результат справедлив, конечно, только в пределах точности первого борновского приближения. Весовой множитель — это обобщенная структурная функция среды. Этот взвешенный интеграл не надо путать со сверткой, потому что ядро зависит от частот более сложным образом, чем через их разность.

Формула (7.6.50) применялась для изучения изменений в линейчатых спектрах, создаваемых рассеянием от некоторой модельной среды, физические свойства которой изменяются хаотично как в пространстве, так и во времени (Foley and Wolf, 1989; Wolf, 1989; James, Savedoff and Wolf, 1990; James and Wolf, 1990, 1994). Было обнаружено, что в некоторых случаях изменения могут быть подобными эффекту Доплера с его характерными особенностями, несмотря на то, что источник, рассеиватель и наблюдатель находятся в покое по отношению друг к другу. Пример приведен на рис. 7.9.

(б) Рассеяние линейно поляризованного монохроматического поля

Часто, особенно когда поле, падающее на рассеиватель, генерируется лазером, предполагают, что поле монохроматично. Соответствующая упрощенная формула для спектра рассеянного поля может быть тогда получена, полагая

в (7.6.50), где положительная константа. Тогда можно получить для выражение

Рис. 7.9. Три узких водородных линии Бальмера На, а — как они выглядели бы в покоящейся системе их источника (сплошные линии) и со сдвигом Доплера (пунктирные линии), вызванным движением со скоростью 0.145 с от наблюдателя; те же линии (показанные пунктиром), сдвинутые и уширенные из-за рассеяния средой, находящейся в покое по отношению к источнику и наблюдателю, корреляционная функция (7.6.28) которых является гауссовской функцией при

где Если, как это часто бывает, флуктуации диэлектрической восприимчивости являются медленными в масштабах оптического периода можно сделать приближение

и выражение (7.6.53) для спектра рассеянного поля сводится

Формула (7.6.55) также применима, когда потому что как очевидно из уравнения (7.6.38), это фурье-образ (обобщенный) действительной функции.

Уравнение (7.6.55) показывает, что спектральная плотность теперь прямо пропорциональна: (а) рассеивающему объему квадрату обратного расстояния до рассеивателя, (в) квадрату синуса угла между направлением поляризации падающей волны и направлением рассеяния значению обобщенной структурной функции с аргументами

Из (7.6.55) и определения (7.6.51а) обобщенной структурной функции ясно, что измерение спектральной плотности в некотором определенном направлении и для выбранной частоты и зависит от определенной пространственно-временной компоненты Фурье пространственно-временной корреляционной функции от Зависимость спектральной плотности рассеянного света от разности двух волновых векторов отражает пространственное поведение флуктуаций диэлектрической восприимчивости тогда как ее зависимость от

отражает временное поведение этих флуктуаций.

(в) Статический предел

Предположим теперь, что рассеивающая среда проявляет случайность в своих физических свойствах в пространственной, а не во временной области, т.е. ее диэлектрическая восприимчивость является случайной функцией а не Так бывает, например, когда используют так называемую модель «замороженной атмосферы» при изучении рассеяния в атмосфере. Временная зависимость флуктуаций

показателя преломления атмосферы тогда игнорируется, потому что его изменения гораздо медленнее флуктуаций оптического поля, и только пространственные флуктуации показателя преломления тогда принимаются во внимание. Мы говорим о такой ситуации как о статическом рассеянии и будем писать вместо Пространственно-временная корреляционная функция определенная выражением (7.6.28), будет независимой от и мы будем обозначать ее как

Тогда из (7.6.37) следует, что

Подставляя это выражение в общую формулу (7.6.39), мы получаем следующее выражение для спектральной плотности рассеянного поля в статическом пределе:

Практический интерес представляют два частных случая формулы (7.6.58). Когда падающее поле — линейно поляризованная немонохроматическая плоская волна тензор взаимной спектральной плотности падающего поля задается выражением (7.6.44), и, если мы также используем тождество (7.6.48), то выражение (7.6.58) сводится к

где, как и ранее, трехмерный фурье-образ корреляционной функции т.е.

или в более явной форме из (7.6.56) имеем

Формула (7.6.59) показывает, что даже при статическом рассеянии спектр рассеянного света отличается, в общем, от спектра падающего света. Изменение возникает из-за коэффициента пропорциональности и из-за зависимости от частоты фурье-образа статической корреляционной функции Он также зависит от направления наблюдения. Формула (7.6.59) напоминает в своих главных чертах формулу (5.8.29) для спектра поля, генерируемого квазимонохроматическим источником в свободном пространстве. Спектральные изменения, индуцируемые статическим рассеянием, изучались с помощью аналога формулы (7.6.59), выведенного из скалярной теории, а не из полной электромагнитной теории, Вольфом, Фолеем и Гори [Wolf, Foley and Gori, 1989, выражение (3.7)].

Рассмотрим другой частный случай, а именно — рассеяние монохроматического линейно поляризованного света с частотой со статической средой. В этом случае спектр падающего света задается формулой (7.6.52), и для выражение (7.6.59) сводится к

Формула такого вида была впервые выведена Эйнштейном (Einstein, 1910) в хорошо известном исследовании, которое явилось отправной точкой статистической теории рассеяния света. Заметим, что согласно (7.6.62) спектральная плотность света, рассеянного в направлении, заданном единичным вектором пропорциональна трехмерной пространственной компоненте Фурье статической корреляционной функции диэлектрической восприимчивости; а именно, компоненте, обозначенной вектором

В силу того, что это единичные векторы, следует, что

где длина волны падающего света. Теперь учтем, что вектор Ко связан с пространственными периодическими компонентами корреляционной функции соотношениями

где декартовы компоненты Следовательно, неравенство (7.6.64) может быть выражено в форме [аналогичной выражению (3.2.31а), которую мы встречали раньше в связи с представлением угловым спектром волновых полей]

Это неравенство означает, грубо говоря, что только те периодические элементы которые больше, чем половина длины волны падающего света, дают вклад в поле рассеяния. Наоборот, из измерений спектральной плотности рассеянного поля для различных направлений рассеяния и при различных направлениях падения можно, в принципе, получить информацию о корреляциях диэлектрической восприимчивости некоторых твердых тел с точностью до порядка длины волны падающего поля. В обычных газах и жидкостях, однако, длины корреляций обычно много меньше, чем длина волны. Тогда эксперименты такого рода по рассеянию менее удобны, хотя они могут дать информацию о дисперсии плотности флуктуаций из измерений интенсивности света, рассеянного в направлении вперед (ср. Van Kampen, 1969, разд. 3).