2.9.3. Зависящее от времени решение уравнения Фоккера — Планка

Чтобы получить общее, зависящее от времени решение уравнения (2.9.9) с константами мы попытаемся разделить переменные, а именно:

после чего подставить в уравнение Фоккера — Планка. Если обозначить через дифференциальный оператор

(по повторяющимся индексам подразумевается суммирование), то уравнение примет вид

Поскольку левая сторона зависит только от тогда как правая сторона зависит только от х, каждое выражение должно равняться константе Следовательно, мы приходим к двум дифференциальным уравнениям

Уравнение (2.9.18) представляет собой уравнение на собственные значения с бесконечным числом собственных решений и собственных значений которые помечены бесконечным множеством целых Размерность множества есть размерность случайного процесса т.е. в случае трехмерного процесса означает Уравнение (2.9.19) можно непосредственно проинтегрировать, и общее решение является линейной комбинацией всех возможных собственных решений, т.е.

где константы определяются начальными условиями и

Уравнение (2.9.18) можно преобразовать в уравнение Штурма — Лиувилля, используя соответствующее преобразование (см., например, Morse and Feshbach, 1953, с. 719), но здесь мы не будем вникать в детали этой общей процедуры. Метод будет продемонстрирован в гл. 18 и 19 при решении уравнения Фоккера — Планка для лазера.