15.4.1. Поглощение и излучение фотонов

Как обычно, предположим, что состояние полной системы атома и поля в начальный момент времени представляется в виде произведения состояний атома и поля. Однако для того, чтобы выделить некоторые простые квантовые закономерности, будем считать, что поле находится в этот момент не в когерентном состоянии, с которым мы обычно имеем дело, а в фоковском состоянии. Тогда оператор плотности полной системы в начальный момент времени имеет вид

где атомное состояние есть произвольное чистое состояние, а поле имеет фотонов в моде Нас интересует вероятность того, что фотон типа будет либо испущен, либо поглощен в течение короткого промежутка времени Эту вероятность можно вычислить, как и в разд. 14.1, простыми методами теории возмущений.

Как и прежде, оказывается удобным работать в картине взаимодействия, в которой процесс эволюции начинается в момент времени и гамильтониан взаимодействия задается выражением

Здесь все операторы, не имеющие явных временных аргументов, относятся к моменту времени В последней строчке были отброшены члены, осциллирующие на оптических и более высоких частотах,

поскольку их вклад на любом временном интервале существенно превышающем оптический период, пренебрежимо мал. Поскольку мы интересуемся вероятностью испускания или поглощения одного фотона, то конечное состояние будет обязательно ортогональным первоначальному состоянию, и можно воспользоваться общим соотношением (14.1.14) для вероятности перехода в течение короткого промежутка времени Используя (15.4.2) и (15.4.3), после суммирования по всевозможным конечным атомным состояниям находим

Из четырех слагаемых в скобках только четвертое вносит заметный вклад, если мы интересуемся поглощением фотона, и только третье вносит заметный вклад, если мы интересуемся испусканием фотона. Кроме того, из (10.4.5) и (10.4.8) следует, что

Интегралы по времени легко вычисляются, и мы находим с помощью (15.4.5), что

и что

Из этих выражений следует несколько интересных общих выводов. Прежде всего, обе вероятности очень малы до тех пор, пока частота рассматриваемого фотона не станет близка к частоте атомного перехода так что разность частот не станет порядка или меньше. Далее, вектор дипольного момента не должен быть ортогонален вектору поляризации рассматриваемого фотона, иначе обе вероятности обращаются в нуль. Например, если матричный элемент оператора дипольного момента является действительным вектором, направленным вдоль оси z, то атом не может ни излучать, ни поглощать фотон, волновой вектор которого направлен вдоль оси z, поскольку вектор поляризации такого фотона оказывается ортогональным вектору Это просто отражает хорошо известные свойства дипольного излучения, которое всегда отсутствует в направлении вектора дипольного момента. С другой стороны, если мы имеем дело с атомным переходом типа и полагаем то из (15.4.7) следует, что вероятность испускания фотона обращается в нуль для фотонов с левой круговой поляризацией, у которых и максимальна для фотонов с правой круговой поляризацией, у

которых Это является следствием закона сохранения момента количества движения. Вероятность поглощения фотона не равна нулю, если атом первоначально не находится в полностью возбужденном состоянии а вероятность испускания фотона отлична от нуля, если атом не находится первоначально в основном состоянии Однако, атом способен поглощать или испускать фотон в любом другом квантовом состоянии.

Вероятность поглощения фотона типа как и ожидалось, пропорциональна числу фотонов данного типа, имеющихся в поле в начальный момент времени. Однако вероятность испускания фотона типа пропорциональна следовательно, содержит два вклада. Член, пропорциональный называется вероятностью вынужденного испускания или индуцированного испускания. Он пропорционален интенсивности поля, отвечающего моде точно так же, как вероятность поглощения. С другой стороны, второй член не зависит от числа заполнения фотонов и отличен от нуля даже в вакуумном состоянии. Он называется вероятностью спонтанного испускания. Если процессы вынужденного испускания и поглощения имели место и в классическом поле, как было показано в разд. 15.3, то спонтанное испускание характерно только для квантового поля. Спонтанный процесс иногда описывается как процесс, индуцированный вакуумными флуктуациями квантового поля.

Суммируя вероятность спонтанного излучения (15.4.7) по всем модам поля, получаем полную вероятность спонтанного излучения фотона в течение интервала времени Для вычисления суммы по поляризациям, воспользуемся тензорным соотношением (10.2.19в) и запишем

Заменим сумму по всем волновым векторам к интегралом согласно обычному правилу Пусть являются полярным и азимутальным углами волнового вектора k. Если предположить, что вектор лежит в плоскости то можно записать в случае действительного дипольного момента и в случае комплексного дипольного момента. Тогда принимает вид в первом случае и во втором. Интегрируя по всем получаем в обоих случаях, так что окончательно из (15.4.7) и (15.4.8) получаем

Выражение под знаком интеграла по имеет резкий максимум в области если так что интеграл по в хорошем приближении равен Интеграл по в равен 4/3 и, разделив обе стороны выражения на получим результат

Если выразить состояние через верхнее и нижнее состояния, используя (15.2.12), то сразу найдем, что

где в — полярный угол атомного вектора Блоха и его z-составляющая. Данный множитель, конечно, максимален, когда т.е. когда атом полностью возбужден. В этом случае скорость спонтанного излучения фотона называется коэффициентом Эйнштейна А (который иногда обозначается через 2/3), и мы получаем следующий результат:

Величина, обратная этой скорости, есть мера времени жизни возбужденного атомного состояния.

Хотя методы теории возмущений справедливы только для коротких времен взаимодействия информацию о временном развитии процесса спонтанного излучения можно получить из простых соображений энергетического баланса. Поскольку испускаемые фотоны сосредоточены по частоте в области можно преобразовать (15.4.9) в приближенное выражение для скорости испускания энергии, умножая на Ниоо. В результате получим

Если приравнять это выражение к скорости, с которой атом теряет энергию, то получим уравнение движения для Таким образом, с учетом (15.1.16) и (15.2.14) имеем

Данное уравнение непосредственно интегрируется, что приводит к результату

Выражение (15.4.12) для скорости испускания энергии, полученное по теории возмущений, имеет силу, несмотря на то, что поле не находится точно в вакуумном состоянии во все моменты времени, поскольку большинство мод поля остается незаполненным в течение атомного затухания. Таким образом, средняя энергия атома затухает экспоненциально со временем со скоростью А благодаря спонтанному испусканию из начального состояния. Однако, гладкое поведение среднего значения энергии скрывает квантовые скачки, связанные с процессом испускания фотона. Данное явление будет исследовано более детально в разд. 15.6.