4.2.3. Объем когерентности и параметр вырождения

Теперь введем два других понятия, которые также полезны для интуитивного понимания когерентных свойств света.

Будем считать, что поле представляет собой почти плоскую, квазимонохроматическую, линейно поляризованную волну. Прямой цилиндр, основанием которого является площадь когерентности А А в плоскости, перпендикулярной направлению распространения, и высота которого равна продольной длине когерентности (см. рис. 4.4), называется объемом когерентности. Он занимает в пространстве объем, равный

Для квазимонохроматической плоской волны объем когерентности не зависит от расположения цилиндра в пространстве. В более реальном случае, когда поле только приближенно можно рассматривать как плоскую волну, , а следовательно, и будет зависеть от конкретного местоположения, и, таким образом, уместнее говорить об объеме когерентности вблизи некоторой точки поля.

Рис. 4.4. Иллюстрация понятия объема когерентности

Предположим, что поле создается тепловым источником который имеет форму квадрата с площадью и испускает квазимонохроматический свет со средней длиной волны А. Тогда согласно (4.2.6) площадь когерентности вблизи центральной точки в плоскости параллельной источнику и расположенной на большом расстоянии от него (см. рис. 4.2), равна Согласно (4.2.4) длина когерентности равна Подставляя полученные выражения в (4.2.14), получим следующее выражение для объема когерентности вблизи точки

Поскольку представляет собой телесный угол, под которым площадь источника видна из точки выражение для можно переписать в виде

Оценим объем когерентности для трех случаев, рассмотренных нами в качестве примеров в разд. 4.2.2, полагая, что в каждом случае эффективный диапазон длин волн фильтрованного света составляет где В этом случае длина когерентности согласно (4.2.4) равна Для плоского теплового источника с площадью площадь когерентности вблизи центральной точки в плоскости, параллельной источнику и расположенной на расстоянии от него, составляет Таким образом, согласно (4.2.14) объем когерентности вблизи равен

Для фильтрованного солнечного света, достигающего поверхности земли площадь когерентности согласно (4.2.12) составялет Следовательно, объем когерентности солнечного света на поверхности земли равен

Для фильтрованного света от Бетельгейзе площадь когерентности согласно (4.2.13) составляет так что

Выражения (4.2.15) получены нами для случая, когда излучение рассматривается на большом расстоянии от теплового источника. Однако, понятие объема когерентности, очевидно, имеет более общее значение. Рассмотрим в качестве примера излучение гелий-неонового лазера. Предположим, что поперечное сечение лазерного пучка равно а средняя длина волны света составляет В течение короткого промежутка времени, порядка нескольких секунд, излучение лазера можно считать стабильным, что обеспечивает узкую полосу частот Гц, соответствующую эффективному диапазону длин волн . Согласно (4.2.3) длина когерентности в течение такого короткого временного промежутка будет составлять величину порядка см см. Полагая, что лазерный пучок пространственно когерентен по всему поперечному сечению (что имеет место в случае одномодового лазера), с помощью выражения (4.2.14), очевидно, можно оценить объем когерентности

Понятие объема когерентности имеет интересную интерпретацию в рамках квантовой механики, когда свет рассматривается с точки зрения фотонов. Предположим вновь для простоты, что поле представляет собой почти плоскую, квазимонохроматическую волну. Пусть импульс фотона, расположенного в окрестности точки Мы можем сопоставить полю шестимерное фазовое пространство фотонов с координатами Учтем, что не могут быть измерены одновременно с точностью, большей, чем позволяет соотношение неопределенностей Гейзенберга постоянная Планка), что также справедливо и для других пар сопряженных переменных Таким образом, естественно представить пространство разделенным на ячейки размером

Фотоны с одинаковой поляризацией, находящиеся в области фазового пространства, размер которой не превышает определенного выражением (4.2.20), являются по существу неразличимыми друг от друга.

Легко показать, что введенный нами исключительно в рамках классической теории объем когерентности, по крайней мере, для типичных случаев, имеющих практическое значение, точно соответствует объему пространства в выражении (4.2.20) с учетом ограничений, налагаемых на произведение геометрией и шириной полосы частот света. Другими словами, объем когерентности представляет собой область пространства, в пределах которой фотоны поля, по существу, неразличимы друг от друга. Первоначально оценим неопределенность значений компонент импульса фотона в дальней зоне поля, создаваемого плоским квазимонохроматическим тепловым источником а с линейными размерами Обозначим через угол, под которым источник виден из точки Для простоты предположим, что точка лежит на нормали к плоскости источника на расстоянии от этой плоскости, в дальней

Рис. 4.5. К выводу формул (4.2.22) и (4.2.23) для неопределенностей компонент импульса фотона, испускаемого протяженным тепловым источником

зоне поля (рис. 4.5). Согласно соотношению де Бройля разд. 3 в прил. II) импульс фотона связан с его длиной волны формулой

где единичный вектор в направлении Неопределенности значений -компонент импульса являются результатом пренебрежения точным местоположением точки источника, из которой испускается фотон и, очевидно, представляют собой проекции вектора импульса на оси х и у, расположенные в плоскости источника. Тогда или, используя выражение (4.2.21),

где А — средняя длина волны света. Полагая угол достаточно малым, можно считать, что неопределенность в значении z-компоненты импульса обусловлена, главным образом, неопределенностью в длине волны. Если эффективный диапазон длин волн света, то из (4.2.21) имеем

Из выражений (4.2.22) и (4.2.23) получим

где площадь источника. Подставляя (4.2.24) в выражение (4.2.20) для размера ячейки фазового пространства, мы видим, что объем пространства вблизи точки в пределах которого фотоны, испускаемые нашим источником, по существу, неразличимы друг от друга, равен

Правая часть выражения (4.2.25) в точности совпадает с выражением (4.2.15а) для объема когерентности, полученным в рамках классической теории. Таким образом, мы подтвердили в этом отдельном, но практически важном случае, наше утверждение о квантово-механическом значении понятия объема когерентности.

В качестве другого примера рассмотрим излучение черного тела в большой термоизолированной камере. Хорошо известно, что фотоны, локализованные в области объема V внутри камеры, энергии которых сосредоточены в интервале вокруг средней энергии будут принадлежать одной и той же ячейке фазового пространства, если

Этот результат означает, что максимальный размер любой области внутри камеры, в пределах которой фотоны неразличимы друг от друга, определяется выражением или, используя соотношение

Эта формула в точности совпадает с выражением (4.2.156), где угол заменен множителем Заметим, что выражении (4.2.156) представляет собой телесный угол, под которым источник виден из точки т.е. телесный угол, образованный всеми возможными направлениями, вдоль которых излучение источника может достичь объема когерентности. Излучение черного тела внутри термоизолированной камеры можно

рассматривать как смесь плоских волн (с соответствующим статистическим распределением амплитуд и фаз), которая распространяется во всех возможных направлениях. В этом случае Дополнительный множитель 1/2 появился из-за того, что излучение черного тела не поляризовано; поэтому его можно рассматривать как смесь двух независимых состояний поляризации (линейной или круговой) для каждого направления распространения. Таким образом, выражение (4.2.27), полученное исходя из соображений о неразличимости фотонов, также полностью согласуется с выражением для объема когерентности, основанного на классической волновой теории.

Интересно также проанализировать среднее число фотонов в определенном спиновом состоянии, содержащееся в объеме когерентности для типичных оптических полей. Эта величина известна как параметр вырождения поля (Mandel, 1961а). На языке квантовой статистики параметр вырождения представляет собой среднее значение числа фотонов, находящихся в одинаковом квантовом состоянии. Позже, в разд. 14.6 мы увидим, что этот параметр играет важную роль в фотоэлектрическом детектировании флуктуаций света. Покажем, что значение параметра вырождения для излучения от теплового источника существенно отличается от соответствующего значения для лазерного излучения.

Значение параметра вырождения на частоте для излучения черного тела при равновесной температуре известно из ранней работы Эйнштейна (Einstein, 1912) (см. также Bothe, 1927 и Fiirth, 1928)

постоянная Планка, постоянная Больцмана). Для обычного раскаленного источника, излучающего на частоте Гц при температуре получим

откуда следует, что излучение такого источника сильно невырождено Для того, чтобы на этой частоте, необходима согласно (4.2.28) температура

В случае излучения лазера ситуация противоположная. Рассмотрим, например, обычный гелий-неоновый лазер с выходной мощностью генерирующий пучок с поперечным сечением на средней длине волны см Число фотонов в единице объема, т.е. энергия в единице объема, выраженная через энергию одного фотона в пучке света, генерируемого таким лазером, равно

Ранее мы отмечали что на достаточно коротких временных интервалах стабильность выходного излучения такова, что объем когерентности лазерного излучения равен Отсюда следует, что в этом случае параметр вырождения имеет значение

Следовательно, такое излучение является сильно вырожденным (5 1). Сравнение (4.2.31) и (4.2.29) дает разницу в 13 порядков в величине вырождения между излучениями черного тела и лазера.