7.5.3. Среда, макроскопические свойства которой случайным образом меняются во времени

Рассмотрим ситуацию, когда флуктуируют как падающее электрическое поле, так и физические свойства среды, и эти флуктуации не детерминированы. Флуктуации электрического поля могут возникать из-за движения или столкновения излучающих атомов, которые генерируют поле. Флуктуации физических свойств среды могут быть вызваны изменениями температуры или давления, а также другими причинами. Будем считать, что случайные процессы, которые являются стационарными, по крайней мере, в широком смысле. Мы также предположим, что эти два процесса статистически независимы, что с хорошей степенью точности имеет место в случае, когда влияние электрического поля на флуктуации восприимчивости пренебрежимо мало. В большинстве случаев, представляющих практический интерес, временные масштабы изменения по отношению к совершенно различны. Изменения по будучи связанными с тепловыми флуктуациями, обычно заключены в ширине полосы в несколько (часто около нулевой частоты, тогда как изменения по связанные с оптическими переходами между атомными состояниями, центрированы на частотах в диапазоне около 1014-1015 Гц и могут иметь ширину полосы порядка Однако, для микроволновых переходов и быстро флуктуирующей среды два частотных диапазона могут приближаться друг к другу и даже перекрываться.

Изучим теперь, как связаны тензоры спектральной плотности электрического поля и индуцированной поляризации. Проще всего это можно сделать следующим образом. Сначала мы представим вектор электрического поля в выражении (7.5.6) в виде (обобщенного) интеграла Фурье и воспользуемся выражением (7.5.7). Тогда получим следующее выражение для индуцированной поляризации

Можно легко вывести из этой формулы или, что еще проще, из выражения (7.5.6), что случайный процесс точно так же, как стационарен, по крайней мере, в широком смысле.

Заметим, что если падающее поле квазимонохроматично с центральной частотой меняется медленно с в окрестности то выражение (7.5.16) может быть аппроксимировано как

Данное соотношение часто используют, не принимая во внимание тот факт, что зависит не только от времени, но и от частоты. Это может быть оправдано, когда эффективные частоты электрического поля не слишком близки к резонансной области среды. Если это не так, необходимо учитывать зависимость от частоты (ср. Wolf and Foley, 1989, разд. II).

Из (7.5.16) следует, что тензор корреляции индуцированной поляризации определяется формулой

где индексы обозначают декартовы компоненты, а угловые скобки обозначают усреднение по ансамблю. Здесь мы воспользовались тем, что случайные процессы по предположению статистически независимы. Вспомним соотношение в несколько другой записи]

которое определяет тензор спектральной плотности электрического поля. Если воспользоваться этим соотношением в (7.5.18), то выражение для тензора корреляций индуцированной поляризации сводится к

где мы опустили индекс

Определим спектральную плотность через и тензор спектральной плотности через с помощью теоремы Винера — Хинчина и (2.4.16)]

Используя условие (7.5.11) и тот факт, что в широком смысле стационарный случайный процесс, из (7.5.21) можно сразу же вывести, что спектральная плотность удовлетворяет следующему соотношению, которое нам скоро понадобится:

Выполняя преобразование Фурье выражения (7.5.20) по меняя порядок интегрирования и используя уравнения (7.5.21) и (7.5.22), мы получаем следующее выражение для тензора спектральной плотности индуцированной поляризации:

Из этой формулы видно, что если бы были независимы от второго аргумента, то спектральная плотность индуцированной поляризации была бы просто сверткой спектральных плотностей Однако, благодаря наличию второго аргумента, что является следствием дисперсионных свойств среды, интеграл в выражении (7.5.24) более сложный, чем свертка.

Тензорные свойства спектральной плотности иногда не важны. Например, если падающий свет полностью поляризован, то спектральные свойства адекватно передаются скалярной функцией, и тензорные индексы в (7.5.24) могут быть опущены. Если к тому же имеет пик на частотах который значительно уже, чем ширина функции спектральной плотности как по так и по то под знаком интеграла в (7.5.24) часто можно аппроксимировать выражением

где дельта-функция Дирака и обозначает математическое ожидание (среднее) интенсивности электрического поля. Подставляя (7.5.25) в (7.5.24) и используя соотношение (7.5.23), мы получаем следующее простое выражение для спектральной плотности индуцированной поляризации через спектральную плотность

Эта формула показывает, что спектральная плотность индуцированной поляризации отражает простым образом спектральную плотность флуктуаций В частности, если для данной частоты имеют форму узких линий с центрами на частотах как, например, часто бывает в случае акустических волн в твердых телах или жидкостях, спектр индуцированной поляризации будет согласно (7.5.26) состоять из дублетов с центрами на частотах с расстоянием между двумя линиями в каждом дублете. Хорошо известные дублеты Бриллюэна в спектре света, рассеянного такой средой, являются отражением этого результата, что будет явно показано в разд. 7.6.5.

Наконец подчеркнем, что формулу (7.5.26) нельзя использовать во всех ситуациях, даже если речь идет о лазерном свете. Большинство лазеров генерируют свет, ширина полосы которого порядка сотен или даже больше, и если эта ширина полосы сравнима или больше, чем ширина полосы спектра флуктуаций то приближенная формула (7.5.26) не применима (ср. Mandel, 1969). Более общее выражение (7.5.24) описывает многие эксперименты по рассеянию. Теперь обратим наше внимание на теорию, лежащую в основе этих экспериментов.