10.9.1. Флуктуации локально усредненных полей

Чтобы получить имеющую физический смысл меру величины флуктуаций, заметим, что при любом измерении существуют ограничения на -моды, которым соответствует аппаратура. Можно доказать, что в пространственно-временной области никакое измерение поля нельзя осуществить в конкретной точке пространства и в определенный момент времени. Поле определяется через воздействие на пробный заряд, что подразумевает усреднение воздействия по конечной области пространства и времени. Но, усредняя по конечной области, мы обнаружим, что высокочастотные вклады в сумме дают нуль, так что мы получаем конечное решение.

Этим рассуждениям можно придать количественный характер, вводя действительную, неотрицательную, интегрируемую усредняющую функцию значение которой фактически равно нулю вне малой пространственно-временной области с линейными размерами (см. рис. 10.5). Предположим, что нормирована таким образом, что

Рис. 10.5. Возможный вид как функции одной из пространственных координат

Точный вид временно оставим неопределенным. С помощью усредняющей функции мы можем выразить действие поля в окрестности пространственно-временной точки в виде свертки

которая представляет собой некий вид локального усреднения в малой области. Тогда с помощью разложения (10.9.2) получим выражение

где четырехмерный фурье-образ функции

Таким образом, вычисление локального пространственно-временного среднего от с усредняющей функцией сводится к приданию веса амплитудам соответствующих фурье-компонент

Из выражения (10.9.7) следует, что среднее значение в вакуумном состоянии, так же как и среднее значение обращается в нуль, т.е.

и из сравнения с выражением (10.9.4) получим

Мы видим, что если убывает достаточно быстро при больших к, среднее значение в вакуумном состоянии, в отличие от среднего значения конечно. Грубо говоря, чем менее резко спадает рассеивающая

функция тем более быстро будет убывать при больших k. В действительности, ограничение на возможный вид очень невелико. Даже очень резко меняющаяся функция

четырехмерный фурье-образ которой имеет вид

приводит к конечному значению Менее резко меняющаяся функция, вероятно, приведет к лучшей сходимости интеграла. Фактически, если область, в которой усредняющая функция существенно отлична от нуля, имеет линейные размеры порядка в пространстве и порядка во времени, то соответствующая область отличных от нуля значений для имеет размер порядка по каждой из переменных

На практике, ограничения часто налагаются на волновые числа или на частоту так что удобнее считать основной численной характеристикой некоего фильтра и с ее помощью определять Мы можем рассматривать как функцию отклика приемника.