18.7.2. Корреляция интенсивности

Теперь мы в состоянии вычислить любую двухвременную автокорреляционную функцию, такую, как корреляционная функция интенсивности при по формуле

С учетом (18.7.4), последнее выражение принимает вид

что можно записать в виде ряда

Коэффициенты задаются формулой

где получается из (18.3.28). Мы заменили в экспоненте из формулы (18.7.6) на для того, чтобы обеспечить симметрию величины по в стационарном состоянии. Первый член, соответствующий в ряду (18.7.6), является единственным, который сохраняется при следовательно, должен быть равен Вычитание из обеих частей выражения (18.7.6) и деление на приводит к выражению

которое описывает зависимость от времени нормированной функции корреляции интенсивности. Из выражений (18.7.6) и (18.7.8) ясно, что коэффициенты нормированы так, что

Видно, что для вычисления корреляционной функции необходимы только собственные функции и собственные значения типа

Мы уже видели, как изменяются собственные значения при изменении параметра накачки лазера а (см. рис. 18.20). Около порога первые несколько собственных значений, как правило, одного порядка величины, несмотря на их постепенный рост. Однако для того, чтобы определить, сколько членов в (18.7.8) вносят ощутимый вклад, необходимо вычислить коэффициенты Это было сделано в работах (Hempstead and Lax, 1967; Risken and Vollmer, 1967a, b; Risken, 1970). На рис. 18.27 показаны первые четыре коэффициента как функции от параметра накачки а. Видно, что ниже порога, примерно до значения ряд в (18.7.9) целиком определяется первым членом, и форма функции корреляции интенсивности очень близка к экспоненциальной с временем корреляции Однако немного выше порога будут давать вклад также другие члены ряда, и корреляционная функция не будет больше чисто экспоненциальной. Конечно, при значительном превышении порога относительные флуктуации интенсивности становятся очень малыми, и форма функции корреляции становится тогда спорной.

Рис. 18.27. Зависимость первых четырех коэффициентов в разложении корреляционной функции интенсивности от параметра накачки a (Risken and Vollmer, 1967а)

Формулу (18.7.8) можно проверить фотоэлектрическими корреляционными измерениями (Chopra and Mandel, 1972, 1973а; Corti, Degiorgio and Arecchi, 1973), по результатам которых точно определяется вид функции корреляции интенсивности. На рис. 18.28 показаны некоторые экспериментальные результаты, полученные Корти, Дегиоргио и Арекки для первых четырех собственных значений как функций средней интенсивности лазерного света, совмещенные с теоретически предсказанными кривыми. В других экспериментах определялось среднее время корреляции интенсивности, соответствующее этим собственным значениям. На рис. 18.29 показаны некоторые результаты, полученные в работе (Sihgh, Friberg and Mandel, 1983), авторы которой также исследовали поведение лазера при ненулевой расстройке. Еще раз отметим, что теория хорошо подтверждается экспериментальными результатами.

Рис. 18.28. Собственные значения как функции отношения средней интенсивности к пороговой Точки — экспериментальные значения, кривые — результаты теоретического расчета. (Из работы Corti, Degiorgio and Arecchi, 1973)

Рис. 18.29. Среднее время корреляции интенсивности как функция средней интенсивности Точки — экспериментальные значения, кривые — результаты теоретического расчета. Одна кривая соответствует точному резонансу а другая — расстройке, равной одной естественной ширине линии (Singh, Friberg and Mandel, 1983)