17.4.2. Уравнения движения квантовой системы

Рассмотрим простую квантовую систему в виде гармонического осциллятора частоты которую будем называть системой Для того, чтобы учесть потери или затухание в системе, предположим, что она связана с большим числом осцилляторов резервуара с различными частотами совокупность которых будем называть резервуаром Резервуар часто представляют в виде тепловой бани, находящейся в состоянии теплового равновесия при температуре но это не всегда необходимо. Все, что необходимо, — это то, чтобы резервуар был достаточно большим, так чтобы его состояние заметно не менялось при взаимодействии с системой. Считая каждый элемент из комбинации гармоническим осциллятором, мы построили простейшую возможную модель затухания в квантовой системе.

Запишем гамильтониан взаимодействующих системы и резервуара в виде

где (и сопряженные им операторы) есть, соответственно, операторы уничтожения (и рождения) для осцилляторных мод системы и резервуара, которые зависят от времени в картине Гейзенберга, а зависящая от частоты константа связи. Все операторы, принадлежащие различным модам, коммутируют, если взяты в один и тот же момент времени, но не обязательно коммутируют, если взяты в разные моменты времени и, конечно,

Временная эволюция операторов подчиняется уравнениям движения Гейзенберга

Последнее уравнение легко интегрируется и дает

После подстановки данного выражения в (17.4.7) получим

Рассмотрим более тщательно последнее слагаемое. В случае, когда осцилляторы резервуара плотно распределены по частоте, сумму по можно заменить интегралом. Пусть есть число осцилляторов, попадающих в частотный интервал Тогда можно записать

Последняя строка получается из предыдущей при помощи подстановок ибо в первом приближении осциллирует на частоте Величина является поэтому медленно меняющейся функцией от Теперь можно рассматривать неотрицательную функцию как спектральную плотность осцилляторов резервуара, диапазон частот которых накрывается диапазоном интегрирования. По теореме Винера-Хинчина (2.4.16) интеграл по и дает автокорреляционную функцию

которая играет роль функции памяти для резервуара. Время памяти или корреляции определяется спектральной шириной функции и является очень коротким, если частотный разброс большой. Действительно, если множитель медленно меняется с изменением и и имеет большой частотный разброс, и если со приходится на середину частотного диапазона, то можно вынести этот множитель за знак интеграла и записать

так что сводится к функции. Резервуар с -образной корреляционной функцией является идеальным, в том смысле, что такой резервуар является строго марковским, без памяти, что часто и предполагается (Senitzky, 1960, 1961; Weidlich and Haake, 1965a, b; Lax, 1966, 1967; Haken, 1970; Louisell, 1973, разд. 6.6). Однако в данный момент мы сохраним для более общее выражение (17.4.12). С учетом (17.4.12) формула (17.4.11) принимает вид

где пикообразная или -образная функция, тогда как изменяется медленно по Последнюю поэтому можно рассматривать как "пробную функцию", на которую действует под знаком интеграла. Независимо от того, рассматриваем ли мы функцию как истинную функцию или нет, ясно, что благодаря ее пикообразной форме в хорошем приближении имеем

при условии, что величина большая по сравнению с очень коротким интервалом, на котором существенно отлична от нуля. Последняя строка получается из предыдущей обратным преобразованием Фурье выражения (17.4.12). Удобно определить коэффициент

имеющий размерность частоты или скорости. Тогда, с учетом (17.4.14) уравнение (17.4.10) принимает вид

где

Данное уравнение движения для имеет форму классического уравнения Ланжевена (17.4.3) с константой затухания к, если не считать того, что слагаемое теперь является оператором. Таким образом, описывает форму квантового шума. Из (17.4.15) следует, что спектральная плотность квантового шума определяет затухание системы, что является другим примером флуктуационно-диссипационной теоремы (см. разд. 17.2). Как мы сейчас покажем, независимо от операторного характера аналогия с классическим ланжевеновским шумом является очень точной.