18.5. Взаимосвязь между квантовой и полуклассической теориями лазера

Мы видели, что квантовая теория лазера дает информацию об абсолютной величине, или абсолютном числе фотонов, лазерного поля. Однако распределение интенсивности света в стационарном состоянии не отличается от того, которое получается в рамках полу классической теории с учетом ланжевеновского шума. Это наводит на мысль о глубинной и более общей связи между двумя различными подходами, которую мы сейчас и будем исследовать. Мы обнаружим, с помощью диагонального представления лазерного поля по когерентным состояниям, введенного в разд. 11.8, что операторное основное кинетическое уравнение (18.4.20) можно привести к виду уравнения Фоккера — Планка Это показывает полную эквивалентность двух подходов с точки зрения вычисления средних значений нормально упорядоченных операторов.

18.5.1. Представление лазерного поля по когерентным состояниям

Согласно (11.8.1) оператор плотности одномодового лазерного поля можно представить в диагональном виде

где интеграл берется по всей комплексной -плоскости. Здесь вектор когерентного состояния с комплексной амплитудой действительная весовая функция или плотность распределения в фазовом пространстве, которая не обязательно является истинной плотностью вероятности. Подставим теперь в данном представлении в основное кинетическое уравнение (18.4.20) и попытаемся исключить операторы а, а). Для некоторых произведений операторов, таких, как

исключение тривиально, если вспомнить, что является правым собственным состоянием оператора а. Для других произведений, типа решение менее тривиально. Воспользуемся процедурой, разработанной Лоузеллем (Louisell, 1969) для замены а и а) дифференциальными операторами, описанными в разд. 12.9, где было показано, что

Данные соотношения позволяют исключить операторы а, а). В дополнение к соотношениям (12.9. 18) и (12.9.20), выведенным в разд. 12, нам понадобятся следующие результаты

Теперь подставим представление (18.5.1) оператора плотности в основное кинетическое уравнение (18.4.20) и исключим операторы аиас помощью приведенных соотношений. После некоторой перестановки членов приходим к следующему уравнению движения

где дифференциальные операторы под интегралом в правой части действуют на проектор Предполагая, что обращается на бесконечности в нуль быстрее, чем любая степень и формально интегрируя по частям, можно преобразовать подынтегральное выражение в правой части в произведение и с-числовой функции от . В результате получим

Сопоставление коэффициентов при в правой и левой частях данного уравнения приводит к дифференциальному уравнению в частных производных для из которого все операторы гильбертова пространства оказались удаленными. Упростим данное уравнение, отбрасывая некоторые члены. Сначала напомним, что В является очень малым коэффициентом по сравнению с А или С, так что, обычно, порядка и меньше. Вследствие этого удержим только наиболее важные члены, пропорциональные В. С другой стороны, когда режим работы лазера близок к стационарному, является большим числом, и значение по порядку величины равно среднему числу фотонов. Следовательно, среди членов, пропорциональных В и содержащих первые производные, член

является наиболее важным, а среди членов, пропорциональных В и содержащих вторые производные, наиболее важными будут следующие:

Но до тех пор, пока лазер не работает при таком превышении порога, что скажем, в 1000 раз превосходит пороговое значение (это означает, что параметр накачки имеет порядок 1000 и более), последние указанные члены будут все еще малы по сравнению со второй производной при множителе А. Подобным же образом, можно доказать, что члены пропорциональные содержащие третьи производные малы по сравнению членами, содержащими первые производные. Исходя из предположения, что лазер не работает слишком далеко над порогом, мы удерживаем только первый член, пропорциональный В. Тогда дифференциальное уравнение для принимает намного более простой вид

и превращается в уравнение Фоккера — Планка для весовой функции

Часто удобно заменить комплексную амплитуду на действительный двумерный вектор х, так что Тогда

и

и уравнение Фоккера — Планка принимает вид

Наконец, можно ввести новые масштабы переменных в уравнении, полагая

Тогда, определив

приходим к уравнению

Для простоты мы снова опустили штрихи, введенные в (18.5.10). Это уравнение движения эквивалентно масштабированному уравнению (18.3.4), которое было получено в рамках полуклассической теории с учетом шума, и где а — безразмерный параметр накачки. Следовательно, в рамках сделанных предположений, можно отождествить х с масштабированной амплитудой лазерного электрического поля, а с плотностью вероятности. Однако квантово-полевое рассмотрение имеет то преимущество перед полуклассическим, что для него не требуется надуманного предположения о величине квантовых флуктуаций. Все масштабирующие множители точно определены через основные коэффициенты усиления А, потерь С и насыщения В лазера.