1.6.2. Производящая функция моментов и характеристическая функция

Рассмотрим многомерное гауссовское распределение в котором случайные величины могут быть коррелированными. Производящая функция моментов определяется выражением

где мы использовали и х для обозначения матриц-столбцов с элементами и а является сопряженной матрицей-строкой. Для того, чтобы определить нужно вычислить интеграл

Для этой цели рассмотрим следующую билинейную форму

и воспользуемся тем, что поскольку является эрмитовым оператором, и что Это позволяет нам переписать экспоненту в выражении (1.6.25) в виде

Входящий в это выражение интеграл становится обычным гауссовским интегралом, если заменить среднее на Тогда множитель в квадратных скобках становится равным единице, и в результате имеем

Подобным же образом можно показать, что характеристическая функция многомерного гауссовского распределения определяется выражением

а производящая функция кумулянтов следует из выражения (1.6.27)

Снова отметим, что ряд по является полиномом второго порядка по случайным переменным