10.11.4. Нормальный и антинормальный порядок

Некоторые из вышеприведенных соотношений оказываются время от времени полезными для приведения определенных произведений операторов рождения и уничтожения к нормальному или антинормальному порядку. В нормальном порядке все операторы рождения а) расположены слева от всех операторов уничтожения а, а обратная ситуация соответствует антинормальному порядку. Предположим, что функция уже нормально упорядочена. Тогда произведение является нормально упорядоченным. Однако, можно привести его к нормальному порядку, умножая обе части второго выражения в (10.11.14) на а справа и получая выражение

правая часть которого теперь нормально упорядочена. По аналогии

Правая часть выражения антинормально упорядочена, если является антинормально упорядоченной функцией.

Произведение также не является нормально упорядоченным. Однако, из (10.11.17) получим

Правая часть этого выражения приводится в нормальный порядок, если нормально упорядочена. Противоположное, антинормальное упорядочение достигается, если с помощью выражения (10.11.16) записать для антинормально упорядоченной функции

В более общем виде

где символ операции нормального упорядочения оператора без использования коммутационных соотношений. Например Выражение (10.11.24) можно доказать более просто индуктивным методом, полагая, что оно справедливо для некоторого Тогда из выражения (10.11.22) получим

и, так как умножается справа на нормально упорядоченную функцию, то из (10.11.24) получаем

Таким образом, выражение (10.11.24) остается в силе при замене на так как оно справедливо для то, следовательно, оно справедливо и для всех целых положительных