18.2.2. Уравнение движения для лазерного поля

Подставим выражение (18.2.11) в уравнение движения (18.2.3) и воспользуемся приближением медленно меняющихся амплитуд для которое означает, что

Это позволяет упростить производные по времени

опуская первый член в каждом выражении из правой части. Предположим также, что поляризация осциллирует примерно на той же частоте что и электрическое поле, так что можно заменить величиной В результате изменение вдоль оси z целиком определяется членом в выражениях (18.2.5) или (18.2.6) и (18.2.7), так что

В этих приближениях уравнение (18.2.3) сводится к следующему

Вообще говоря, это уравнение не является внутренне строго согласованным, поскольку решение для зависит от но оно становится согласованным после интегрирования по объему резонатора. Причина состоит в том, что распределение активной среды в резонаторе должно быть конкретизировано до вычисления мод и их амплитуд. Если разложить поляризацию на положительно-частотные и отрицательно-частотные части

где, в первом приближении, пропорциональна пропорциональна то станет ясно, что

Теперь умножим каждое слагаемое на и проинтегрируем по объему резонатора. Учитывая далее соотношение ортонормированности (18.2.9), получаем уравнение

Если активные атомы лазера распределены в резонаторе с некоторой плотностью а средний дипольный момент атома в точке в момент времени равен и имеет определенное направление, то макроскопическая поляризация равна

Именно с этого момента, при вычислении среднего значения атомного дипольного момента расчет становится квантово-механическим.

Чтобы вычислить для типичного двухуровневого атома предположим, что за счет некогерентной оптической накачки атом первоначально переведен в смешанное состояние, характеризуемое оператором плотности

так что имеется вероятность того, что атом возбужден и вероятность того, что он не возбужден. Мы уже видели, что для работы лазера необходимо, чтобы в среднем превышала Теперь допустим, что этот атом взаимодействует с классическим полем в течение короткого промежутка времени по истечении которого данное состояние можно полагать распавшимся излучательно или безызлучательно, или же в результате столкновения. В разд. 15.3 мы обсуждали классическую задачу Раби, в которой атом взаимодействует с классическим электромагнитным полем постоянной амплитуды. В случае лазера амплитуда поля сама изменяется во времени. Однако если временной масштаб на котором атом взаимодействует с полем, намного меньше временного масштаба, на котором изменяется амплитуда лазерного поля мы можем считать величину фактически, постоянной в течение взаимодействия. В результате можно использовать решения (15.3.21) и (15.3.22). Если различием частот атома и поля можно пренебречь, то формула (15.3.22) сводится к следующему выражению для среднего атомного дипольного момента в момент времени в случае, когда атом находился в нижнем состоянии в начальный момент времени

Как обычно, есть матричный элемент оператора дипольного момента перехода, который будем считать действительным, частота Раби. Время есть время, в течение которого продолжается взаимодействие. Оно играет роль времени жизни рабочего атома. Мы можем предположить, что по окончании времени атом совершает переход в некоторое другое состояние, в котором он больше не взаимодействует с лазерным полем. Можно легко показать, что в случае, когда начальным состоянием атома является возбужденное состояние, получается похожее выражение, но с другим знаком. Если начальным состоянием является смешанное состояние, так что верхнее и нижнее состояния встречаются с вероятностями соответственно, как в выражении (18.2.15), то среднее значение дипольного момента принимает вид

В действительности, существует приблизительно экспоненциальное распределение времен жизни и необходимо усреднять по Если есть среднее естественное время жизни, которое для простоты будем предполагать одинаковым для основного и возбужденного состояний, то уравнение (18.2.16) заменяется следующим

Если мало, то, как правило, достаточно сохранить только два первых члена в разложении по степеням Это означает, что мы исключаем очень сильные лазерные поля. Частота Раби в настоящих обозначениях задается формулой выражение (15.3.12)]

при условии, что вектор дипольного момента и вектор поляризации поля параллельны. Но необходимо отметить, что в случае резонанса фаза дипольного момента связана с фазой поля, так что изменение знака влечет за собой изменение направления дипольного момента. Таким образом, можно переписать (18.2.17) в виде скалярного уравнения

Умножая на плотность атомов можно сразу определить положительно-частотную часть поляризации Объединяя этот результат с уравнением (18.2.13), получаем

Данное выражение можно записать более компактно, если ввести среднюю атомную плотность

и величину

Тогда приходим к следующему уравнению движения

Полученное уравнение похоже по структуре на уравнение, впервые выведенное ван дер Полем (van der Pol, 1922) и описывающее поведение электронного осциллятора в приближении медленно меняющейся амплитуды. Уравнение применимо в случае однородно уширенной активной среды, в которой все атомы резонансно взаимодействуют с полем. Если среда является неоднородно уширенной, уравнение (18.2.22) все еще имеет силу, при условии, что атомная плотность относится только к тем атомам, частоты которых лежат в пределах естественной ширины лазерной линии.

Рассмотрим кратко следствия из этого уравнения. Когда амплитуда поля достаточно мала, то в первом приближении можно пренебречь кубическим членом по §. В этом случае уравнение описывает либо экспоненциальный рост, либо экспоненциальный спад, согласно формуле

Левая часть, которая пропорциональна инверсии населенностей, очевидно, характеризует усиление среды (при условии, что а правая часть, которая пропорциональна проводимости очевидно, соответствует потерям. Действительно, а может быть связана с добротностью моды резонатора соотношением Когда имеет силу точное равенство, усиление точно равно потерям, что соответствует порогу генерации. Таким образом, порог характеризуется минимальной плотностью атомной инверсии, которая определяется соотношением

Выше порога, когда усиление превышает потери, амплитуда растет экспоненциально до тех пор, пока нелинейный член или член насыщения не начнет проявлять себя и подавлять дальнейший рост. Однако, необходимо отметить, что начальный рост зависит от наличия в начале процесса ненулевого поля. В отсутствии последнего, поле остается нулевым во все последующие моменты времени, какой бы высокой ни была инверсия. В этом состоит основной недостаток полуклассического подхода. С использованием более компактных обозначений

для коэффициентов усиления, потерь и нелинейных членов, уравнение (18.2.22) запишется в виде

Иногда удобно исключить один или более из трех параметров введением новых безразмерных переменных. Например, можно определить безразмерную меру амплитуды поля, полагая

и безразмерный параметр накачки а, нормируя разность коэффициентов усиления и потерь

По определению, величина а положительна в области выше порога и отрицательна в области ниже порога. Тогда уравнение движения для амплитуды лазерного поля принимает более компактный вид

Параметр также можно исключить введением безразмерной меры времени Однако мы пока оставим на месте, поскольку это окажется в дальнейшем более удобным.

Полагая получаем стационарное решение. Ниже порога единственным стационарным решением является решение тогда как выше порога существует ненулевое стационарное решение, и, в пределе больших времен, имеем

Рис. 18.4. Зависимость стационарных значений интенсивности и абсолютной амплитуды лазерного поля от параметра накачки

Выше порога, всякий раз когда интенсивность света оказывается меньше а, амплитуда растет со временем до тех пор, пока не станет а всякий раз когда оказывается больше а, амплитуда падает до тех пор, пока не станет Очевидно, в наших безразмерных единицах величина а задает интенсивность лазерного поля в стационарном состоянии выше порога. На рис. 18.4 показаны зависимости амплитуды и интенсивности лазерного поля в стационарном состоянии от параметра накачки а, который, в свою очередь, является линейной функцией от скорости возбуждения. Как только инверсия населенности превышает критическое значение, задаваемое формулой (18.2.23), стационарная интенсивность света растет пропорционально а. Конечно, когда параметр накачки становится очень большим и интенсивность света достаточно высокой, кубическое приближение в (18.2.17) может стать неудовлетворительным. Это, обычно, случается, когда усиление превосходит потери хотя бы на несколько процентов, что, однако, уже соответствует довольно сильному возбуждению. Тем не менее, кубическое приближение имеет силу в довольно широких пределах работы лазера.

Несмотря на простоту уравнения (18.2.27), его общее решение не является очень простым из-за нелинейного характера уравнения. Мы обсудим временные свойства лазерного поля немного позже в разд. 18.6, после того, как учтем шум спонтанного излучения.