14.7.4. Распределение временного интервала фотоэлектрических импульсов

Как мы уже видели, при попадании света на фотодетектор совместная вероятность детектирования двух фотоэлектрических импульсов в момент в течение и в момент в течение задается выражением

в котором не указываются пространственные координаты. С первого взгляда может показаться, что можно рассматривать условную вероятность

регистрации детектирования в момент в течение при условии наличия детектирования в момент как выражение для распределения временного интервала между последовательными фотоэлектрическими импульсами. Однако необязательно связана с импульсами, следующими непосредственно друг за другом, и не стремится к нулю при Она дает дифференциальную вероятность того, что в момент появится один фотоэлектрический импульс и в момент появится другой, безотносительно к тому, какие импульсы могут появиться в промежутке. Мы уже ссылались на несколько экспериментальных способов измерения фотоэлектрических корреляций и указывали, что в некоторых случаях, например в том, который показан на рис. 14.7, измеряемой не является ни ни а является плотность вероятности того, что первый останавливающий импульс, следующий за запускающим импульсом в момент появится в момент Выведем теперь эту плотность вероятности, которая представляет собой распределение вероятности временного интервала между последовательными импульсами.

В любой дифференциальный промежуток времени длительностью вероятность отсутствия детектирования равна ( Можно ожидать, что вероятность отсутствия детектирования в конечном временном интервале от до включает в себя произведение большого числа подобных множителей, которые расположены упорядоченно по времени и в нормальном порядке, и произведение имеет вид

и можно показать (см. разд. 14.8), что в пределе —у оно сводится к

Объединение этого множителя с выражением для плотности условной вероятности того, что детектирование имеет место в момент при условии наличия более раннего детектирования в момент приводит к следующей формуле для

Конечно, для стационарного поля и не зависят от Поскольку отрицательная экспонента возрастает с ростом то стремится к нулю при таким образом, величина в отличие от задаваемой выражением (14.7.7), может быть нормирована. Это легко подтвердить непосредственным интегрированием:

как и требовалось доказать. Поскольку есть средняя скорость счета детектора, то понятно, что заметно отличается от только при Когда невелико, можно связать распределение и совершая разложение экспоненциального множителя в ряд (Davidson and Mandel, 1968; Davidson, 1969). В особенно простом частном случае, когда поле находится в когерентном состоянии с постоянной во времени интенсивностью света из (14.7.8) следует, что

В более общем случае предполагается, что при изменении изменяется приблизительно по экспоненциальному закону на временных интервалах достаточно длительных, чтобы корреляции интенсивности ослабли, при условии, что этот процесс является эргодическим.

Плотности вероятности и формально могут быть получены из производящей функции

которая, в принципе, включает корреляции всех порядков. Так, производя частное дифференцирование, мы получаем, что

Еще раз подчеркнем, что когда является достаточно большим или когда скорость фотоэлектрического счета достаточно высока, необходимо различать и В этом случае, измерения должны проводится с помощью установки, которая показана на рис. 14.7, а измерения с помощью установки, приведенной на рис. 14.9.

В заключение отметим, что так называемое распределение времени ожидания которое является плотностью вероятности того, что временной интервал от произвольного момента до следующего импульса равен задается выражением