10.9. Вакуумные флуктуации

Мы уже столкнулись с некоторыми существенными различиями в квантовой и классической теориях поля. Мы обнаружили, что для каждой моды квантового поля собственные значения энергии, импульса

и момента количества движения принимают только определенные дискретные значения и что некоторые компоненты поля в пространственно-временных точках, разделенных определенным интервалом, не могут быть одновременно измерены. Еще более ярким проявлением квантованного электромагнитного поля служит явление вакуумных флуктуаций.

Вакуумное состояние поля представляет собой состояние с наименьшей энергией, и мы показали в разд. 10.4 [см. (10.4.24)], что средние значения операторов в вакуумном состоянии обращаются в нуль, так как

Пусть произвольный вектор поля, который может представлять собой электрическое поле, магнитное поле или векторный потенциал, имеющий разложение по модам общего вида [ср. (10.4.38)-(10.4.40)]

где некоторая медленно меняющаяся функция частоты, различная для каждого конкретного вектора поля. Тогда, исходя из выражения (10.9.1), получаем

В то же время можно легко показать, что среднее значение квадрата оператора поля не равно нулю. Это означает, что флуктуации электромагнитного поля существуют даже в состоянии с наименьшей энергией. Если воспользоваться разложением по модам (10.9.2) и учесть, что

то мы сразу же находим, что

С помощью коммутационного соотношения (10.3.9) находим

и, следовательно,

Ясно, что это выражение не равно нулю и, безусловно, равно бесконечности для неограниченного числа мод. Так как где отклонение от среднего, то мы видим, что поле в вакуумном состоянии флуктуирует. На первый взгляд, бесконечные флуктуации представляются абсолютно лишенными физического смысла и, безусловно, могут вызвать сомнения в обоснованности всего метода квантования. Однако, из выражения (10.9.4) видно, что бесконечность является следствием бесконечно больших частот и волновых чисел в разложении по модам, что не встречается на практике.

Временно отложив в сторону вопрос о бесконечностях, вкратце обсудим, почему вообще должны существовать вакуумные флуктуации. В силу коммутационных соотношений (10.4.1), (10.4.2) вектор поля не коммутирует с числом заполнения фотонов следовательно, не коммутирует с энергией Отсюда следует, что в любом состоянии с определенной энергией, примером которого является вакуумное состояние, должна иметь место ненулевая дисперсия т.е. Напомним, что канонические переменные квантовомеханического осциллятора продолжают флуктуировать в основном состоянии, и каждая -мода поля, таким образом, проявляет свою квантовую природу.