1.6.1. Теорема о гауссовском моменте

Гауссовские случайные переменные обладают замечательным свойством, состоящим в том, что все корреляции высших порядков между ними могут быть выражены через корреляции второго порядка между парами переменных. Пусть являются набором гауссовских случайных переменных. Тогда для любого набора из индексов имеем:

Этот результат известен как теорема о гауссовском моменте (см., например, Mehta, 1965, прил. А1).

С тем чтобы доказать теорему, начнем с набора независимых гауссовских случайных переменных и отметим, что обращается в нуль, если все нижние индексы различны, или — в более общем виде — если каждый нижний индекс не присутствует четное число раз. Тогда число множителей будет четным и с учетом (1.5.26) корреляция приобретает вид:

Но это просто сумма по всем неисчезающим парам исходной корреляции, так что формально можно записать для корреляции четного числа независимых гауссовских случайных переменных

по всем парам

Теперь перейдем с помощью унитарного преобразования от набора случайных -переменных к набору случайных переменных, которые в общем случае больше не являются независимыми:

Тогда имеем

и применение уравнения (1.6.20) немедленно приводит к теореме (1.6.18).

Наконец, рассмотрим два полезных приложения. Если все в выражении (1.6.18) являются равными, то сразу же получаем

Эта формула просто воспроизводит результаты, полученные с помощью выражения (1.5.266). В качестве более сложного приложения рассмотрим две коррелированные гауссовские случайные переменные Тогда

так что всегда превышает Позже мы увидим (в гл. 8), что эта формула находит применение при объяснении корреляций интенсивности света от тепловых источников.