3.3.3. Метод стационарной фазы для двойных интегралов

Рассмотрим асимптотическое приближение при к для двойного интеграла

где действительные регулярные функции двух действительных переменных двумерная односвязная замкнутая область. Предположим, что кривая С, ограничивающая область является гладкой, т.е. касательная к С изменяется непрерывно вдоль этой кривой.

Рассуждения, подобные тем, которые мы только что привели в общих чертах для одномерных интегралов, приводят к заключению, что при достаточно больших к член в выражении (3.3.24) быстро осциллирует, по мере пробегания точкой области интегрирования, так что различные вклады сокращаются, за исключением вкладов от точек, находящихся в окрестности особых точек, которые также называются критическими точками. В этом состоит сущность метода стационарной фазы для двойных интегралов вида (3.3.24)

Наиболее важными критическими точками являются точки в области интегрирования, в которых функция стационарна, т.е. точки в области в которых

и точки на границе С, для которых функция стационарна относительно малого смещения вдоль кривой С, т.е. точки на кривой С, в которых

Точки области удовлетворяющие требованию (3.3.25), называются критическими точками первого рода, а точки, которые удовлетворяют требованию (3.3.26) — критическими точками второго рода (см. рис. 3.17).

Рис. 3.17. a - Критическая точка первого рода: внутренняя стационарная точка функции ; б - критическая точка второго рода: точка на границе С области интегрирования, где стационарна относительно смещения вдоль границы, измеряемого от некоторой заданной точки О на кривой С

Теперь приведем эвристический вывод вкладов этих видов критических точек в асимптотическое поведение двойного интеграла (3.3.24) при больших .

(а) Вклад критических точек первого рода

Предположим, что в двойном интеграле (3.3.24) функция является непрерывной и что имеет непрерывные частные производные второго порядка в области Также сначала предположим, что существует только одна критическая точка первого рода в В окрестности этой точки

где и т.д. вычислены в точке Допустим, что в

Подставляя (3.3.27) в (3.3.24) и используя в точности такое же доказательство, основанное на принципе стационарной фазы, которое мы привели ранее для одномерных интегралов, при достаточно больших к получим, что

где ввели обозначения

Член в экспоненте подынтегрального выражения (3.3.29) можно упростить, соответствующим образом поворачивая оси и относительно начала координат Для этого положим

и выберем в таким образом, чтобы квадратичная форма в подынтегральном выражении свелась к сумме квадратов, т.е. таким образом, чтобы

где некоторые константы, которые мы определим позже. Тогда (3.3.29) примет вид

где

Интегралы (3.3.34) определяются формулой (3.3.17), и с учетом этого выражение (3.3.33) принимает вид

где

Далее выразим множитель в формуле (3.3.35) через частные производные второго порядка от фазовой функции . Для этого воспользуемся тем фактом, что при повороте осей [см. (3.1.31)] квадратичная форма по двум переменным имеет два инварианта, а именно, след

и детерминант

В этом случае [см. (3.3.32)]

Для удобства введем

Если воспользоваться (3.3.37) и (3.3.38), то легко найдем, что

С учетом этих неравенств формула (3.3.35) принимает вид

где

Слева вместо мы записали чтобы подчеркнуть, что выражение представляет собой вклад критических точек первого рода в асимптотическое приближение, в предположении, что такая критическая точка существует и что выполняется требование (3.3.28).

Если подынтегральное выражение в (3.3.24) имеет несколько критических точек первого рода, то соответствующее асимптотическое приближение для получается в результате объединения всех отдельных вкладов, каждый из которых определяется выражением вида (3.3.41).

(б) Вклад критических точек второго рода

Рассмотрим эвристический вывод вклада критической точки второго рода, т.е. вклада точки на границе С области на которой фазовая функция стационарна относительно малого смещения вдоль С [см. (3.3.26)].

Пусть О будет начальной точкой на С и пусть I — расстояние от О до некоторой точки на границе С, где в качестве положительного направления был выбран обход против часовой стрелки. Пусть а — угол между касательной к кривой С в этой точке и положительным направлением оси как показано на рис. 3.18. Обозначая штрихом дифференцирование по I в критической точке имеем

Рис. 3.18. Обозначения для вычисления вклада критической точки второго рода для двумерного интеграла (3.3.24) в асимптотическом пределе

Следовательно, в точке

Сначала мы предположим, что в

Очевидно, что величины в уравнениях (3.3.43)-(3.3.45) вычисляются в точке

Для последующих целей рассмотрим следующие формулы:

и, вводя множитель 77, определяемый как

получим [замечая, что согласно

Заметим, что согласно (3.3.43) в точке имеем т.е. Следовательно, вместо (3.3.47а) можно записать

Для того, чтобы оценить вклад точки ограничим область интегрирования, согласно методу стационарной фазы, малой окрестностью лежащей в области (см. рис. 3.18) и воспользуемся теоремой Грина:

где С — граница области часть которой совпадает с некоторой частью С, а оставшаяся часть целиком принадлежит и направлена против часовой стрелки. Достаточно рассмотреть специальный случай, когда Тогда тождество (3.3.49) примет вид

Пусть Тогда и уравнение (3.3.50) дает

Теперь при достаточно больших к вторым членом слева можно, очевидно, пренебречь по сравнению с первым членом. Далее, поскольку область может быть сколь угодно малой, можно заменить множитель в подынтегральном выражении его значением в критической точке Более того, можно также заменить справа на Тогда получим формулу

Теперь в интеграле справа можно заменить их значениями в точке которая определяется выражением (3.3.48а). После деления обеих частей на находим

где в последнем интеграле рассматривается как функция длины I дуги С.

Далее разложим фазовую функцию вблизи критической точки которую поместим, для простоты, в точку О, от которой измеряется длина дуги. Тогда для точек на С имеем

и, следовательно,

при достаточно больших k. Снова используя (3.3.17) и симметричность подынтегрального выражения (3.3.55), найдем

где верхний и нижний знаки соответствуют Подставляя (3.3.55) и (3.5.56) в формулу (3.3.53), сразу находим, что

где

Далее выразим величину (т.е. значение в критической точке ) в более явной форме. В любой точке на С имеем

Также в каждой точке на кривой С мы имеем:

где

радиус кривизны кривой С в критической точке который является положительным или отрицательным (т.е. а увеличивается или уменьшается), в зависимости от того, где находится центр кривизны элемента границы в на той же стороне, где и область или на противоположной стороне положительна на рис. 3.18). Из формул (3.3.60)-(3.3.62) следует, что

и, подставляя эти выражения в (3.3.59), получим для следующую формулу

Значения х и у в критических точках определяются из (3.3.48) и, следовательно, из формулы (3.3.64) получаем

Окончательно, подставляя (3.3.65) в (3.3.57), находим искомый вклад критической точки второго рода в асимптотическое приближение для двойного интеграла (3.3.24) при к —у

где

Наконец, рассмотрим вопрос: останется ли формула (3.3.66) справедливой, когда в точке Это случай, который мы явно исключили из рассмотрения в предыдущем анализе [см. (3.3.45)]. Если то и из (3.3.43) следует, что в точке Можно предположить, что в точке в противном случае была бы также критической точкой первого рода, что мы исключаем. Вместо (3.3.50) воспользуемся теоремой Грина в виде

Если взять то получим, рассуждая точно также, как при выводе (3.3.52), формулу

Заменяя справа их значениями в точке и используя уравнения (3.3.476) и (3.3.486), вновь получим формулу (3.3.53), где теперь поскольку Оставшаяся часть вычислений, такая же, как и прежде, приводит к (3.3.66), за исключением того, что 77 теперь определяется выражением (3.3.476), а не (3.3.676).

В общем случае существует несколько критических точек второго рода. Их совместный вклад в асимптотическое приближение для определяется просто суммированием отдельных вкладов, каждый из которых можно найти из только что полученной формулы.

В заключение заметим, что согласно (3.3.41) вклад критических точек первого рода в асимптотическое приближение двойного интеграла (3.3.24) составляет порядка тогда как согласно (3.3.66) вклад критических точек второго рода — порядка Следовательно, если подынтегральное выражение имеет критические точки первого рода, то их вклады будут в общем случае более значимыми, нежели вклады критических точек второго рода.

Мы предполагали всюду, что граница С области является гладкой. Если это не так, например, если на кривой С существуют точки, в которых наклон касательной терпит разрыв (угол квадратной области и т.д.), то такие точки также будут вносить вклад в асимптотическое приближение. Точки такого типа называются критическими точками третьего рода, и можно показать, что они дают вклад порядка (см., например, Stamnes, 1986, разд. 9.1.4).